Una generalización binomial del FLT: el problema de la servilleta de Bombieri

Question

Este es un extracto de la biografía de Apéry (lo que algunas de las personas que ya han disfrutado en esta respuesta).

Durante un matemático de la cena en Kingston, Canadá, en 1979, el conversación giró en torno a la última de Fermat teorema, y Enrico Bombieri propuesto un problema: demostrar que la ecuación $$ \binom xn+\binom yn=\binom zn \qquad\text{where}\quad n\ge 3 $$ ha no hay solución no trivial. Apéry a la izquierda de la mesa y volvió en el desayuno con la solución $n = 3$, $x = 10$, $y = 16$, $z = 17$. Bombieri respondió rígidamente, "me dijo que no trivial."

¿Cuál es el estado del arte de la ecuación anterior? Fue estudiado en serio?

Edit. Debo el siguiente nombre oficial de el problema a Gerry, así como Alf van der Poorten del (diferente!) punto de vista sobre esta historia y algunos enlaces útiles sobre el problema (ver Gerry comentarios y respuesta). El nombre es Bombieri la Servilleta Problema. Como la OEIS enlacesugiere, Bombieri dijo que

"la ecuación de $\binom xn+\binom yn=\binom zn$ no tiene trivial soluciones para $n\ge 3$"

(el chiste es que él dijo "trivial" en lugar de "trivial"!).

Como Gerry indica en su comentario, el caso especial $n=3$ tiene una larga historia comenzó a partir de 1915 papel [Bökle, Z. Matemáticas. Naturwiss. Unterricht 46 (1915), 160]; esto se refleja en [A. Bremner, Duque De Matemáticas. J. 44 (1977) 757--765]. Un enlace es [F. Beukers, la Quinta Conferencia de la agencia Canadiense de Número de la Teoría de la Asociación, 25--33] para los que no pude encontrar un SEÑOR enlace. La sanguijuela del papelindica la solución particular $$ \binom{132}{4}+\binom{190}{4}=\binom{200}{4} $$ y el trivial familia infinita $$ \binom{2n-1}n+\binom{2n-1}n=\binom{2n}n. $$

Answer 1

Algunas soluciones para $n=3$ se puede encontrar en http://www.oeis.org/A010330 donde también hay una referencia a J. Sanguijuela, Algunas de las soluciones de Diophantine ecuaciones, Proc. Camb. Phil. Soc., 53 (1957), 778-780, MR 19, 837f (pero a partir de la revisión parece que el papel se trata de ${x\choose n}+{y\choose n}={z\choose n}+{w\choose n}$).

Hay algunas otras soluciones en http://www.numericana.com/fame/apery.htm

EDITAR Aquí están algunas referencias para $n=3$:

Andrzej Krawczyk, Una propiedad determinada de números piramidales, Prace Nauk. Inst. Mat. Fiz. Politechn. Wrocƚaw. La Ser. Studia me Materiaƚy Nº 3 Teoria grafow (1970), 43--44, MR 51 #3048.

El autor demuestra que para cualquier número natural $m$ existen distintos números naturales $x$ e $y$ tal que $P_x+P_y=P_{y+m}$ donde $P_n=n(n+1)(n+2)/6$. (J. S. Joel)

M. Wunderlich, Ciertas propiedades de piramidal y figurate los números, las Matemáticas. Comp. 16 (1962) 482--486, MR 26 #6115.

El autor da un montón de soluciones de $x^3+y^3+z^3=x+y+z$ (que es equivalente a la ecuación que queremos). En su revisión, S Chowla reclamaciones que han demostrado la existencia de un número infinito de soluciones no triviales.

W. Sierpiński, Sur de la onu propriété des nombres tétraédraux, Elem. De matemáticas. 17 1962 29--30, MR 24 #A3118.

Este contiene una prueba de que hay infinitamente muchas soluciones con $n=3$.

A. Oppenheim, En la ecuación de Diophantine $x^3+y^3+z^3=x+y+z$, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 17 1966 493--496, MR 32 #5590.

Hugh Maxwell Edgar, Algunas observaciones sobre la ecuación de Diophantine $x^3+y^3+z^3=x+y+z$, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 16 1965 148--153, MR 30 #1094.

A. Oppenheim, En la ecuación de Diophantine $x^3+y^3-z^3=px+py-qz$, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak. La Ser. Mat. Fiz. Nº 230-241 1968 33--35, MR 39 #126.

Answer 2

Mi primer instinto es decir, parece poco probable que haya habido un progreso serio en este problema general n. A diferencia de la ecuación de Fermat, este no es homogénea de grado n, lo que significa que es realmente una pregunta acerca de los puntos sobre una superficie en lugar de puntos en una curva. No tenemos una enorme caja de herramientas para el control racional o integral los puntos sobre las superficies como hacemos para las curvas.

De hecho, no se me ocurre ningún ejemplo de una familia de superficies de cultivo de grado, donde podemos demostrar un teorema como "no hay soluciones no triviales para n > N." OK, supongo que uno sabe acerca de la simetría plazas de X_1(n) por Merel...

Answer 3

Otro papel que menciona el problema es "Soluciones Explícitas de Piramidal Diophantine Ecuaciones" de L. Bernstein, Canadá. De matemáticas. Bull. Vol. 15(2), a partir de 1972! De hecho me di cuenta de que este problema podría haber aparecido en la literatura mucho antes de que se expresa en términos de "figurate números". De todos modos una interesante lista de referencias (no he encontrado la mayoría de ellos sin embargo, a pesar de que) puede encontrarse en la sección D8 de R. Chico "Problemas sin resolver en la Teoría de los números".

También dos más OEIS enlaces con información útil. También me gustaría encontrar en este artículo de H. Harborth, "de Fermat-como binomio de ecuaciones", las Aplicaciones de los números de Fibonacci, Proc. 2º Int. Conf., San José/Ca., De agosto de 1986, 1-5 (1988). (Enlace)

Como conclusión, el problema ha sido mencionado en varios documentos, y muchos de los casos se han dado un montón de atención. Bombieri no parece ser la fuente original de la pregunta.