¿Qué aplicaciones interesantes existen para los teoremas u otros resultados estudiados en los cursos de cálculo de primer año?
Un buen ejemplo para tal aplicación sería usar un teorema de cálculo para probar un resultado en la teoría de grupos. Por otro lado, la importancia del cálculo en las matemáticas aplicadas o en la física es bien conocida, por lo tanto, no es un buen ejemplo.
A raíz de la teoría de Galois ejemplo de Johannes, una forma sencilla de producir una explícita polinomio con no soluble grupo de Galois sobre ${\mathbb Q}$ es el uso de una irreductible quintic con exactamente tres raíces reales, que necesariamente ha Galois grupo $S_5$. Para comprobar que un explícito polinomio (como $x^5-4x+2$ si no me equivoco, estoy escribiendo de memoria) tiene esta última propiedad se reduce a un estándar de cálculo con argumentos tales como "diferenciar, encontrar los puntos de inflexión, la estimación de los valores, utilice el teorema del valor intermedio". Siempre me encuentro en este cálculo interludio en el final de la mitad de un semestre de álgebra bastante divertido.
Una aplicación interesante de cálculo es la escuela primaria, el polinomio caso de Mason ABC del teorema. Esto produce, por ejemplo, una completamente trivial prueba del polinomio caso de FLT (Último Teorema de Fermat). Que esto funciona tan eficazmente para polinomios (funciones) frente a los números es debido al hecho de que para las funciones que tenemos disponibles la derivada, lo que implica que podemos explotar Wronskians como una medida de la expresión algebraica de la independencia. Tal Wronskian estimaciones de servir como herramientas fundamentales en la diophantine aproximación. Ver mi post de [1] para más detalles y referencias.
[1] lic.de matemáticas.la investigación, 1996/07/17
poli FLT, abc teorema, Wronskian formalismo [era: todas las soluciones de f^2+g^2=1]
http://groups.google.com/group/sci.math/msg/4a53c1e94f1705ed
http://google.com/groups?selm=WGD.96Jul17041312@berne.ai.mit.edu
El teorema del valor medio (del cálculo diferencial) puede usarse para demostrar que los números de Liouville son trascendentales. La prueba es bastante simple, tomando solo un par de líneas. Vea el Teorema 191 de "Una introducción a la teoría de los números" de Hardy y Wright en los libros de Google.
Creo, históricamente, que estos fueron los primeros ejemplos conocidos de números trascendentales.
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