Cómo especificar un 4manifold topológico compacto con una cantidad finita de datos

Question

Datos finitos para los 4 manifolds: Tengo un recuerdo algo borroso de haber visto una tesis doctoral alrededor de 2005 que mostraba que cualquier 4manifold topológico compacto $M$ puede ser especificado por una cantidad finita de datos. La idea, a grandes rasgos, es explotar el hecho de que $M \setminus pt$ ( $M$ menos un punto) puede ser triangulada y dar explícitamente dicha triangulación para un gran segmento inicial $X$ de $M \setminus pt$ y un segmento inicial aún mayor $Y$ de $M \setminus pt$ junto con un certificado de que $Y \setminus X$ contiene un S^3 incrustado topológicamente plano que corta el final de $M \setminus pt$ . Estos datos permiten construir el colector topológico cerrado $M$ y argumentar que el resultado es único. El detalle importante es cómo dar el certificado requerido. A lo largo de los años, varias personas me han preguntado sobre esta cuestión de los "datos finitos para los 4 manifoldes". Me gustaría localizar la referencia, o en su defecto encontrar tiempo para escribir una demostración.

Answer 1

Entiendo lo que quieres decir, pero creo que la afirmación "cualquier manifiesto topológico compacto de 4 dimensiones puede ser especificado por una cantidad finita de datos" tiene una respuesta trivial (módulo de la literatura). Cheeger y Kister demostró que los 4 manifolds compactos son contables. Por lo tanto, dada una biyección de los 4 manifolds con $\mathbb{N}$ Cada uno de los 4 maníferos puede ser especificado por un número entero.

Por supuesto, esta es una respuesta descarada, y no es lo que usted pide. El contenido de tu pregunta está pidiendo una manera específica de especificar un 4-manifold, que está atado en el certificado para un 3-esfera. No conozco este trabajo. Pero tal vez la demostración del teorema de Cheeger-Kister podría convertirse en una forma de especificar un 4-manifold?

He aquí un posible ejemplo de cómo podría ser esa especificación. Una variedad compacta puede especificarse mediante una colección finita de bolas cerradas y empotramientos entre ellas, de modo que la clase de equivalencia generada por estos empotramientos con la topología del cociente da la variedad. Las incrustaciones de bolas pueden aproximarse mediante mapas PL (que quizá ya no sean incrustaciones, pero que deben tener la propiedad de que el conjunto de puntos dobles tiene un diámetro tan pequeño como uno quiera). ¿Quizás haya algún tipo de criterio que diga que una colección de tales mapas entre bolas aproxima de forma única un conjunto de incrustaciones que da una variedad? Un criterio de existencia de este tipo me parece más complicado que un criterio de unicidad.

Answer 2

Por casualidad, discutí esta misma cuestión con Fico el pasado mes de diciembre. Tal vez sea él quien se lo pregunte.

Lo que se escribe a continuación tiene sentido en cualquier dimensión, pero la dimensión 4 es la más interesante ya que no se pueden utilizar los resultados de Kirby y Siebenmann sobre la existencia de una descomposición de asas. Nótese que una descomposición de asas no da todavía una descripción finita de una variedad topológica ya que hay que especificar los mapas de unión. La misma idea de una $\delta$ -permite resolver este problema sustituyendo los mapas de fijación homeomórficos por $\delta$ -equivalencias de homotopía de subcomplejos adecuados.

Este es un enfoque que utiliza el $\alpha$ -Teorema de aproximación en dimensión 4 (Teorema 4 en "Curvature, tangentiality, and controlled topology" de Ferry y Weinberger, Inventions, 1991): si $M, N$ son 4manifolds compactos con límite y $f: M\to N$ es $\delta$ -homotopía-equivalencia (con $\delta$ suficientemente pequeño) que restringe a un homeomorfismo en la frontera, entonces $f$ es $\epsilon$ -homotópico a un homeomorfismo. Aquí estoy asumiendo que $M$ et $N$ se metrizan; a $\delta$ -es una homotopía-equivalencia propia tal que las vías de homotopía a la identidad tienen diámetro $\le \delta$ .

Lo que no me queda claro es cuán efectivo es $\delta$ en este teorema, siempre que, por ejemplo, $M, N$ están triangulados y $f|\partial M$ es un homeomorfismo de PL.

Observación. No sé si $B_{ij}$ pueden tomarse como bolas topológicas, esto está relacionado con mi pregunta sobre la existencia de buenas tapas de las variedades topológicas.

Dejando a un lado esta cuestión, he aquí cómo se puede utilizar este teorema. Un 4manifold topológico compacto puede definirse en términos de una colección finita de 4 bolas $B_i$ y homeomorfismos de encolado parcialmente definidos $$ f_{ij}: B_{ij}\subset B_i\to B_{ji}\subset B_j. $$ Los sustituiré por un dato combinatorio: 4 bolas trianguladas $C_j$ son mapas lineales a trozos $g_{ij}: C_{ij}\to C_{ji}$ . Aquí estoy asumiendo que los subcomplejos $C_{ij}, C_{ji}$ cuentan con refinamientos de las triangulaciones originales procedentes de $C_i, C_j$ para que cada $g_{ij}$ es lineal en cada simplex.

Las triangulaciones de $C_i$ dan lugar a métricas euclidianas a trozos en estas bolas en términos de las cuales definiré las longitudes de las pistas de las homotopías (que asumo que son lineales a trozos).

Dejemos que $X$ sea el complejo obtenido al pegar $C_i$ 's a través de la $g_{ij}$ 's.

Definición. $X$ es un $\delta$ -si cada $g_{ij}$ se restringe a un homeomorfismo $$ \partial C_{ij}\to \partial C_{ji} $$ y $g_{ij}$ es un $\delta$ -homotopía-equivalencia $C_{ij}\to C_{ji}$ .

El punto de esta definición es que (compacto) cada $\delta$ -manifold es una criatura combinatoria y se codifica mediante una cantidad finita de datos.

El teorema de aproximación alfa dice entonces que si $\delta$ es lo suficientemente pequeño (dependiendo de lo que el $C_i, C_{ij}$ ) entonces cada $\delta$ -es homotópicamente equivalente a una variedad topológica compacta de 4 dimensiones $M_X$ y, además, esta variedad es única hasta un homeomorfismo.

Además, dada una 4manifold topológica compacta, representada a través de un sistema de homeomorfismos de encolado $f_{ij}: B_{ij}\to B_{ji}$ se aproxima a estos homeomorfismos a través de mapas PL que son $\delta$ -homotopía-equivalencias para un número arbitrariamente pequeño de $\delta$ . (Hay algunos tecnicismos, posiblemente desagradables, ocultos aquí ya que los mapas originales $f_{ij}$ se definen en subconjuntos abiertos y éstos tienen que ser sustituidos por subcomplejos finitos ligeramente más pequeños). Por lo tanto, cada 4manifiesto topológico compacto $M$ produce un $\delta$ -manifold $X$ .

Answer 3

A mi entender, supongo que se podría intentar la siguiente estrategia. Dejemos que $M$ sea una 4-manifolda orientable cerrada y conectada (mientras que las 4-manifolds no orientables están doblemente cubiertas por las orientables). Operando $M$ a lo largo de un número finito de círculos domesticados incrustados produce un manifold simplemente conectado de 4 $M'$ . Entonces, $M$ puede recuperarse a partir de una cierta variedad simplemente conectada mediante la cirugía de un número finito de 2 esferas localmente planas y disjuntas con un haz normal trivial. Ahora bien, los 4 manifolds simplemente conectados se clasifican mediante el célebre teorema de Mike Freedman en términos de la forma de intersección y el invariante de Kirby-Siebenmann (que equivale a datos finitos). Queda por entender cuántos datos necesitamos para determinar las esferas incrustadas que se van a surgered en un 4-manifold simplemente conectado. Por supuesto, necesitamos algo más que la homotopía (= homología ya que $\pi_1 = 0$ ).