¿Cuál es el menor número de puntos que debe eliminar de$\mathbb{R}^3$ para que no esté simplemente conectado?

Question

Esta pregunta se refiere a un conjunto teórico aspecto que me pareció interesante en los últimos pregunta hecha por el usuario de Nick R., es decir, Es $\mathbb{R}^3\setminus\mathbb{Q}^3$ simplemente conectado? Él había preguntado si $\mathbb{R}^3$ sigue siendo simplemente conectado después de la eliminación de una contables conjunto de puntos, tales como la recolección de puntos racionales $\mathbb{Q}^3$.

Esa pregunta fue respondida afirmativamente por Martin M. W., Mi pregunta es, ¿podemos hacerlo mejor? Específicamente, quiero entender, en el contexto general donde la continuidad puede ser muy grande, exactamente cuántos puntos nos puede libremente eliminar de $\mathbb{R}^3$, mientras que el restante simplemente conectado. ¿Cuál es el menor número de puntos que debemos eliminar de $\mathbb{R}^3$ con el fin de hacer que ya no es simplemente conectado?

Vamos a definir el simplemente conectado eliminación de número, $\delta$, el menor cardinalidad de un subconjunto $A\subset\mathbb{R}^3$, de tal manera que el complemento $\mathbb{R}^3\setminus A$ ya no es simplemente conexa.

Martin de la respuesta a la pregunta anterior muestra que la eliminación de cualquier contables número de puntos conserva el simplemente se conecta de la propiedad, y por lo que la conecta simplemente a la eliminación número de definitivamente innumerables, por lo menos $\omega_1$. Y puesto que es claramente en la mayoría de la continuidad, la cuestión está zanjada si el continuum hipótesis sostiene. Como todos los otros cardenal características de un continuo, este número es más interesante cuando el continuum hipótesis de falla.

En un comentario, Yo había sugerido que Martin argumento sugiere que el simplemente conectado eliminación número debe ser al menos tan grande como cov$(\cal{M})$, que abarca el número de los escasos ideal, que es el número mínimo de escasos conjuntos cuya unión es todo el espacio. Mi razón para sugerir esto fue que como tengo entendido Martin de la respuesta (que admito es imperfectamente), propone que para cualquier punto de $x$, hay un comeager conjunto de homotopies que evita $x$. Por lo que para evitar todos los puntos en un set $P$, tenemos que sabemos que la intersección de $|P|$ muchos comeager establece en su espacio de homotopies es no vacío. Este es el mismo como el conocimiento de que los sindicatos de $|P|$ muchos de los escasos conjuntos (la complementa) no es todo el espacio de homotopies, a fin de que no está en menos deseada homotopy que evita cada punto en $P$.

Si esto es correcto, entonces podemos deducir que el simplemente se conecta eliminación número es al menos cov$(\cal{M})$, siempre que la cubierta número de escasos establece en su espacio era el mismo que en otros de nuestros más espacios familiares. (Si alguien podría explicar y confirmar esta desigualdad en mayor detalle, por favor enviar una respuesta! Me gustaría ver más detalles de lo que Martin había proporcionado sobre el espacio de homotopies.)

Pregunta. ¿Cuál es la conecta simplemente a la eliminación número de exactamente? Es coherente que este número es estrictamente menor que el continuum? Es necesariamente el continuum? ¿Cómo se relaciona a la otra norma cardenal características de la continuidad? ¿Cuál es el valor bajo Martin axioma? Es igual a cov($\cal{M}$)? Puede ser estrictamente mayor que cov$(\cal{M})$?

Answer 1

Claramente wlog el punto base es $0$.

Tomar un bucle $a: [0,1] \to \mathbb R^3$ con $a(0)=a(1)=0$.

Fijar un único homotopy $b: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb R^3$ con $b(t,0)=a(t)$, $b(t,1)=b(0,u)=b(1,u)=0$. También se eligen para ser real analítica en $(0,1) \times (0,1)$. Creo que no hay problema en hacer esto mediante la elección de ser armónica o algo.

Ahora vamos a considerar una homotopy $b'(t,u)= b(t,u) + c u(1-u)$ por convenientemente elegidas $c \in \mathbb R^3$. Queremos elegir un $c$ que evita un conjunto de puntos de $p$. Eso significa que $c$ debe fallar a la igualdad:

$$ \frac{ p - b(t,u)}{u(1-u)} $$

Este es un verdadero analítica con parámetros de superficie en $\mathbb R^3$. Así que la pregunta - ¿cuántos real de la analítica de superficies parametrizadas en $\mathbb R^3$ suficiente para cubrir $\mathbb R^3$?

Creo que la respuesta es continuo. Su intersección con una línea contables a menos que contengan esa línea, y un real de la analítica de la superficie contiene en la mayoría de los countably muchas líneas en un plano que no sea el avión, así que si usted tiene menos de continuidad real de la analítica de superficies, elija un plano que no es ninguna de sus superficies, a continuación, seleccione una línea en la que está contenida en ninguno de sus superficies, luego ganar.

Answer 2

El simplemente se conecta la eliminación número es igual a la continuidad. Esto se deduce del hecho de que para cualquier subconjunto denso $A$ en la línea real el subconjunto $A_3=(A\times \mathbb R\times \mathbb R)\cup (\mathbb R\times A\times\mathbb R)\cup (\mathbb R\times\mathbb R\times A)$ es de 2-denso en el siguiente sentido: para cualquier continua ap $f:[0,1]^2\to\mathbb R^3$ y cualquier $\varepsilon>0$ no es un mapa continuo $g:[0,1]^2\to \mathbb R^3$ tal que $g$ coincide con $f$ sobre el límite de $f$ y $g((0,1)^2)\subset A_3$, e $g$ es $\varepsilon$-cerca de a $f$. La prueba de este hecho es un poco más complicado de lo que escribí en la anterior versión de esta respuesta, por lo que podemos proceder de manera diferente.

Dado un subconjunto $S\subset\mathbb R^3$ de cardinalidad $|S|<\mathfrak c$, construir a través de la inducción de una densa contables conjunto $C$ en $\mathbb R^3$ tal que cualquier 3-elemento subconjunto $B$ de $С$ es affinely independiente y su afín hull $aff(B)$ no se cruzan $S$. (Para la construcción de un conjunto de $C$ solucionar cualquier contables base de la $(U_n)$ de la topología y en $n$th $U_n$ elegir un punto de $c_n$ tal que cualquier 3-elemento subconjunto $B\subset\{c_0,\dots,c_n\}$ es affinely independiente y su afín casco extraña $S$).

A continuación, la unión de $\Delta=\bigcup\{aff(B):B\subset C,\;|B|=3\}$ es de 2-denso en $\mathbb R^3$. Para probar el 2 densidad de $\Delta$, arreglar cualquier función de $f:[0,1]^2\to\mathbb R^3$. Necesitamos construir un mapa de $g:[0,1]^2\to\mathbb R^2$ tal que $g$ coincide con $f$ sobre el límite de $[0,1]^2$, $g((0,1)^2)\subset\Delta$ e $g$ está cerca de a $f$. En $(0,1)^2$ el mapa de $g$ puede ser definido por la fórmula $g(x)=\sum_{U\in\mathcal U}\lambda_U(x)c_U$ donde

• $\mathcal U$ es un cover de $(0,1)^2$ por la apertura de los conjuntos cuyos diámetros tienden a cero, como se $U$ tiende hacia el límite de la plaza,

• $\mathcal U$ tiene orden de $\le 3$ en el sentido de que cada punto de $(0,1)^2$ está contenida en la mayoría de los 3 juegos de la cubierta de la $\mathcal U$ (tales elección de $\mathcal U$ es posible como $dim(0,1)^2=2$);

• $(\lambda_U)_{U\in\mathcal U}$ es una partición de la unidad subordinada a la cubierta $\mathcal U$, y

• para cada $U\in\mathcal U$ el punto de $c_U$ pertenece a $C$ y es lo suficientemente cerca a un punto en el conjunto de $f(U)$.