¿La iteración de una determinada función relacionada con las sumas de divisores siempre resulta en un valor primo?

Question

Vamos a definir la siguiente función para enteros (de 2): $f(x)=\sigma(x)-1$ donde $\sigma$ es la suma de los divisores de $x$. Por ejemplo $f(6)=6+3+2=11$, $f(5)=5$. Tenga en cuenta que $x$ es un punto fijo para $f$ si y sólo si, $x$ es primo.

Si repetimos partida en cualquier entero $x$ obtenemos un sistema dinámico.

Cálculos con Arce mostró que, para todo entero $x$ en $[2,2000000]$ existe un entero $n$ tal que $(f \circ f \circ \dots \circ f)(x)$ es primo, es decir, para cada entero $x$ la secuencia generada es estacionaria. La pregunta es: ¿alguien puede ayudar a demostrar la conjetura ?

Gracias por cualquier ayuda sobre el tema.

Answer 1

$\sigma(n)$ crece no mucho más rápido que$n$:$\sigma(n) = O(n \log \log n)$. Esto es lo suficientemente lento como para que debamos decir$\log f^{(n)}(x) = O(n \log n)$. Heurísticamente, la probabilidad de que$f^{(n)}(x)$ sea primo debería ser algo así como$1/\log f^{(n)}(x)$, y dado que$\sum_n \dfrac{1}{n \log n}$ diverge, esperaríamos llegar a un máximo con probabilidad$1$. Por supuesto, esto no es una prueba, pero proporciona alguna justificación para creer la conjetura.

Answer 2

Cada primer se produce al menos una vez (obviamente) como el final de una trayectoria. Sin embargo, muchos ocurrir sólo una vez, y algunos se producen con bastante frecuencia. Desde $f$ es no decreciente es fácil por simple cálculo para encontrar todos los $x$ que terminan en un primer $p$.

Los números primos tales que $p+1$ tiene muchos pequeños factores primos son probables de ocurrir a menudo. Por ejemplo, hay $125$ puntos de partida que termina en $5039$, pero los cercanos primos $5011,5023,5051, 5059$ e $5057$ puede ser alcanzado sólo en sí mismos, mientras que $5021$ puede ser alcanzado a partir de sí mismo y un otro lugar, $2650=2\ 5^2\ 53$ con $\sigma(2650)=(2+1)(25+5+1)(53+1)=2\ 3^4\ 31=5022.$ no es demasiado difícil de establecer que $\sigma(x)=2651$ no tiene soluciones.

Por otro lado, $5040=2^33^25\ 7$ puede ser factorizado en mayo de formas como el producto de varios factores, que deben tener pequeños factores primos. Aquí están todas las maneras, de modo que cada factor es uno menos que un primo.

$[3, 4, 14, 30], [3, 6, 14, 20], [3, 4, 420], [3, 12, 140], [3, 20, 84], [4, 14, 90], $$[4, 30, 42], [4, 1260], [6, 14, 60], [6, 20, 42], [12, 14, 30], [6, 840],$$ [14, 18, 20], [12, 420], [14, 360], [20, 252], [30, 168], [60, 84]$

Estos, con $5039$, dar a la $19$ plaza libre enteros con $\sigma(x)-1=5039.$ Hay otros que no lo son plaza libre, tales como $x=4y$ por extraño $y$ con $\sigma(y)=720$ (también ejemplos procedentes de $\sigma(3^3)=40$ e de $\sigma(2^5)=63$.) Hay también puntos de partida que la tierra en $5039$ después de varios pasos.

Yo esperaría $6719=(2^6\ 3\ 5 \ 7)-1$ a ocurrir muy a menudo, pero no he comprobado.