Estoy interesado en la siguiente pregunta. ¿Los mapas que inducen el mismo homomorfismo en los grupos de homotopía y homología son homotópicos? Estoy seguro de que la respuesta es no, sin embargo, no puedo imaginar cómo construir contraejemplos.
Respuestas
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Tome la composición de un grado de un mapa $f:T^3\to S^3$ con el mapa de Hopf $g:S^3\to S^2$ donde $T^3$ es el 3-toro. Esta composición es trivial en homotopy grupos desde $T^3$ es asféricas y $\pi_1S^2=0$. Es trivial en $H_i$ para $i>0$ ya que esto es cierto para $g$. Si $gf$ fueron nullhomotopic podríamos levantar un nullhomotopy a un homotopy de $f$ a un mapa de un círculo de fibra de $g$, lo que implicaría que $f$ tenía grado 0, una contradicción. Por lo tanto $gf$ induce los mismos mapas en la homología y homotopy grupos como una constante mapa, pero no es homotópica a una constante mapa. (No recuerdo donde vi por primera vez este ejemplo, tal vez en algo de Arnold.)
leojg
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Fantasma mapas proporcionan una gran clase de los ejemplos de mapas que no son homotópica a la constante mapa, pero que inducen el cero mapa en tanto homología y homotopy grupos. Hay una cantidad no numerable de distintas homotopy clases de fantasma mapas de $\mathbb{C}P^\infty\to S^3$, por ejemplo.
Edit: En muchos casos se puede determinar si trivial fantasma mapas se pueden encontrar entre dos espacios mediante la investigación racional homotopy invariantes. Algunos grandes referencias incluyen Fantasma mapas y Racional de las Equivalencias por Roitberg y McGibbon, o McGibbon de la encuesta en el Manual de la topología Algebraica.
