Número cromático de un espacio topológico

Question

Esta es una pregunta que me hice hace años. Como no es realmente de mi ámbito, espero encontrar aquí algunas respuestas (parciales)... Como no estaba claro, preciso que estoy buscando una respuesta en ZFC, así que usando el axioma de elección si es necesario.

El número cromático de un gráfico $G$ es el cardinal mínimo de una partición de $G$ en conjuntos independientes, es decir, conjuntos cuyas componentes conectadas son triviales. Esta definición de conjuntos independientes sugiere que un buen análogo de ellos en el entorno de los espacios topológicos serían los conjuntos totalmente desconectados. Esto motiva la siguiente definición:

Definición. Definir el número cromático de un espacio topológico $X$ , denotado por $\chi(X)$ como el cardinal mínimo de una partición de $X$ en conjuntos totalmente desconectados.

Mi pregunta principal es la siguiente:

Pregunta. ¿Cuál es el número cromático de $\mathbb{R}^n$ ?

Algunas observaciones. Si $X$ puede ser incrustado en $Y$ entonces $\chi(X) \leqslant \chi(Y)$ . También tenemos que $\chi(X \times Y) \leqslant \chi(X)\chi(Y)$ porque si $(A_i)_{i \in I}$ y $(B_j)_{j \in J}$ son las respectivas particiones de $X$ y $Y$ en conjuntos totalmente desconectados, entonces $(A_i \times B_j)_{(i, j) \in I \times J}$ es así para $X \times Y$ . También tenemos que $\chi(\mathbb{R}) = 2$ , atestiguado por la partición $\{\mathbb{Q}, \mathbb{I}\}$ , donde $\mathbb{I}$ denotan el conjunto de números irracionales. Así pues, $\chi(\mathbb{R}^n) \leqslant 2^n$ .

Pero tenemos algo mejor. En realidad, $\chi(\mathbb{R}^2) \leqslant 3$ , atestiguado por la partición $\{\mathbb{Q}^2, (\mathbb{Q} \times \mathbb{I} \cup \mathbb{I}\times \mathbb{Q}), \mathbb{I}^2\}$ (donde $\mathbb{Q} \times \mathbb{I} \cup \mathbb{I}\times \mathbb{Q}$ está totalmente desconectado porque se incrusta en $\mathbb{I}^2$ a través de $(x, y) \mapsto (x + y, x - y)$ ). Así que $\chi(\mathbb{R}^{2n}) \leqslant 3^n$ y $\chi(\mathbb{R}^{2n + 1}) \leqslant 2 \times 3^n$ .

Mi conjetura es que $\chi(\mathbb{R}^n) = n + 1$ . Para el límite superior, sospecho que alguna partición de la forma $\{A_0, \ldots A_n\}$ donde $A_i$ es el conjunto de elementos de $\mathbb{R}^n$ teniendo exactamente $i$ coordenadas racionales podría funcionar, pero no consigo demostrar nada. Para el límite inferior, sólo tengo una intuición dada por la siguiente "imagen": si se considera $A \subseteq \mathbb{R}^n$ totalmente desconectado, entonces suena razonable pensar que existe un conjunto $B\subseteq \mathbb{R}^n$ , homeomorfo a $\mathbb{R}^{n - 1}$ pasando "entre" los puntos de $A$ Sin embargo, esto es sólo una intuición y no sé si es cierto. Sospecho que se necesitaría algo de topología algebraica para demostrarlo, pero casi no tengo experiencia en este campo así que no he podido investigar más; ni siquiera soy capaz de demostrar que $\chi(\mathbb{R}^n) > 2$ para algunos $n$ .

Otra posibilidad sería que $\chi(\mathbb{R}^n) = 2$ por cada $n$ por una coloración "rara". Lo que me hace sospechar es que si sustituimos "conectado" por "conectado por arcos" en la definición del número cromático, entonces resulta fácil construir una partición de $\mathbb{R}^n$ en dos partes, cada una de las cuales no tiene ningún subconjunto conectado en forma de arco no trivial, mediante un argumento diagonal utilizando el axioma de elección. Sin embargo, esta prueba utiliza el hecho de que hay exactamente $\mathfrak{c}$ arcos $\gamma : [0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}^n$ . Para hacer la misma demostración para conjuntos conexos, necesitaríamos la existencia de una familia de $\mathfrak{c}$ subconjuntos conexos no triviales de $\mathbb{R}^n$ tal que todo subconjunto conexo no trivial de $\mathbb{R}^n$ tiene un subconjunto en esta familia, y no creo que tal familia exista (pero no lo sé).

En caso de que consigamos demostrar que $\chi(\mathbb{R}^n) = 2$ gracias a alguna construcción utilizando el axioma de elección, sería interesante investigar qué ocurre (aún suponiendo la elección) si imponemos alguna restricción a la complejidad de los conjuntos en la partición, por ejemplo que sean de Borel.

Answer 1

El número cromático $\chi(X)$ de un espacio topológico $X$ está relacionada con la dimensión de separación $t(X)$ introducido y estudiado por Steinke .

La dimensión de la separación $t(X)$ se define de forma inductiva:

$\bullet$ $t(\emptyset)=-1$

$\bullet$ $t(X)=0$ para cualquier espacio $X$ de cardinalidad $|X|=1$ ;

$\bullet$ si $|X|\ge 2$ entonces $t(X)\le n$ para algunos $n\in\mathbb N$ si para cada subespacio $M\subset X$ con $|M|\ge 2$ existe un conjunto $A\subset M$ tal que $t(A)<n$ y $M\setminus A$ está desconectado;

$\bullet$ $t(X)=n$ para algún número entero $n\ge 0$ si $t(X)\le n$ y $t(X)\not\le n-1$ .

Es fácil ver que $t(X)=0$ si y sólo si el espacio $X$ está totalmente desconectado.

En la proposición 3.1 de su papel Steinke demostró lo siguiente

Teorema de la suma: Para cualquier subespacio $A,B$ de un espacio topológico la unión $A\cup B$ tiene una dimensión de separación $t(A\cup B)\le t(A)+t(B)+1$ .

Este teorema implica que $t(X)+1\le\chi(X)$ para cualquier espacio topológico $X$ .

Por otro lado, por el clásico Teorema de Descomposición de Urysohn (es el Teorema 7.3.9 en el libro de Engelking "Topología General"), para un espacio metrizable $X$ de dimensión finita $Ind(X)$ el número $Ind(X)+1$ es igual a la menor cardinalidad de una partición de $X$ en subconjuntos de gran dimensión inductiva cero.

Dado que los espacios de gran dimensión inductiva cero están totalmente desconectados, este teorema de descomposición implica que $\chi(X)\le Ind(X)+1$ para cualquier espacio metrizable $X$ . Por lo tanto, para cualquier espacio metrizable $X$ de dimensión inductiva grande finita, obtenemos las desigualdades:

$$t(X)+1\le \chi(X)\le Ind(X)+1.$$

En el Corolario de la página 279 de su papel Stainke demuestra que para cada espacio paracompacto localmente compacto $X$ tenemos las desigualdades

$$dim(X)\le t(X)\le ind(X)\le Ind(X).$$

Desde $dim(X)=ind(X)=Ind(X)$ para cualquier espacio metrizable separable $X$ Finalmente, concluimos que

$$dim(X)=t(X)=ind(X)=Ind(X)\quad\mbox{and}\quad\chi(X)=\dim(X)+1$$

para cualquier espacio metrizable localmente compacto $X$ .

En particular, obtenemos el siguiente teorema que responde a la pregunta de N. de Rancourt.

Teorema 1. Por cada $n\in\mathbb N$ el espacio euclidiano $\mathbb R^n$ tiene un número cromático $\chi(\mathbb R^n)=n+1.$

Para los espacios metrizables separables en general, tenemos la siguiente cota superior, que puede ser interesante para los teóricos de conjuntos.

Teorema 2. Cada espacio metrizable separable $X$ tiene un número cromático $\chi(X)\le\omega_1$ .

Prueba. Elige una familia $(D_\alpha)_{\alpha\in\omega_1}$ de conjuntos densos disjuntos en la recta real $\mathbb R$ . Para todo ordinal contable $\alpha$ considere el conjunto $Z_\alpha=\mathbb R\setminus\bigcup_{\alpha\le\beta<\omega_1}D_\beta$ y observar que $(Z_\alpha)_{\alpha\in\omega_1}$ es una secuencia transfinita creciente de subespacios de dimensión cero de $\mathbb R$ tal que $\bigcup_{\alpha\in\omega_1}Z_\alpha=\mathbb R$ .

Teniendo en cuenta que el cardenal $\omega_1$ tiene una cofinalidad incontable, podemos demostrar que $\{Z_\alpha^\omega\}_{\alpha<\omega_1}$ es una cubierta de $\mathbb R^\omega$ por $\omega_1$ muchos subespacios de dimensión cero, lo que produce el límite superior $\chi(\mathbb R^\omega)\le\omega_1$ .

Dado que cada espacio metrizable separable se incrusta en $\mathbb R^\omega$ finalmente obtenemos la cota superior deseada $\chi(X)\le\chi(\mathbb R^\omega)\le\omega_1$ .

Este límite superior se alcanza para el cubo de Hilbert.

Teorema 3. El cubo de Hilbert $\mathbb I^\omega=[0,1]^\omega$ tiene un número cromático $\chi(\mathbb I^\omega)=\omega_1$ .

Prueba. El límite superior $\chi(\mathbb I^\omega)\le\omega_1$ se demostró en el Teorema 2 y el límite inferior $\chi(\mathbb I^\omega)>\omega$ fue probada por Krasinkiewicz (véase también este documento ).