Relación entre el diámetro y el radio de un punto de set

Question

Considerar un conjunto de $n$$\mathbb{R}^k$. El diámetro de este conjunto es la distancia máxima entre dos de sus puntos, su radio es el radio de la menor (cerrado) k-bola que contiene todos los puntos.

Si sabemos que el diámetro de la $d$, ¿qué puede decirse acerca de la radio de $r$? Claramente $d/2\leq r\leq d$, pero puede que el límite superior se aprieta?

Answer 1

El límite está dado por la obra de Jung Teorema, declaró en suficiente generalidad en http://en.wikipedia.org/wiki/Jung%27s_theorem.

Un boceto de la prueba: comenzar considerando simplices.

Si todos los $k+1$ vértices de un simplex en $\mathbb{R}^k$ del lie (la superficie) de su mínimo, adjuntando el balón, el M. E. B. es el circumsphere de que simplex. Si no, entonces el $j+1$ vértices que se encuentran en la bola también se encuentran en un subespacio vectorial de dimensión $j$ (y formar un buen simplex dentro de ese subespacio); el centro de la M. E. B. es el circumcentre de que los sub-simplex y su radio es de su circunradio.

Llamar a un simplex cuyo M. E. B. es su circumsphere una aguda simplex. (Si $k = 2$ esta definición capta la fase aguda y los triángulos rectángulos, por lo que es un ligero abuso.)

El regular $k$-simplex de borde de $d$ tiene la máxima circunradio entre todos aguda $k$-simplices con diámetro de $d$. (No estoy del todo contento con mi prueba de ello, así que no voy a escribir. Es fácilmente demostrado ser un máximo local, sin embargo.)

Para calcular este radio, deje $r_k$ denotar el circunradio de la regular $k$-simplex de lado $1$. Observar que el circumcentre $c_S$ de una aguda simplex $S$ con una aguda cara $R$ se encuentra en la recta normal a $R$ pasando a través de $c_R$; escribir $h_k$ por la distancia de la $||c_S-c_R||$ al $S$ es regular $k$-simplex y $R$ uno de sus ($k-1$- simplex) caras. El punto de la $S$ es colineal con $c_S$$c_R$. Teniendo en cuenta el derecho de los triángulos en esta configuración, podemos ver: $$r_k ^2 = r_{k-1}^2 + h_k^2 \mbox{ and }1 = (r_k + h_h)^2 + r_{k-1}^2.$$ La eliminación de $h_k$ que se derivan de la relación de recurrencia $r_k^2 = {\frac{1}{4(1-r_{k-1}^2)}}$, y, la solución de (a sabiendas de $r_1 = 1/2$), obtenemos: $$r_k = \sqrt{\frac{k}{2k+2}}. $$

En particular, esta sucesión es monótona creciente en $k$; por lo que cada $k$-simplex de máxima radio es aguda, y por lo tanto regular.

Ahora, para completar el teorema: la mínima, adjuntando el balón $B$ de un conjunto finito $S$ es el M. E. B. de los puntos en $S$ acostado en $B$, y por lo tanto el M. E. B. de algunos simplex con vértices en a $S$; y la mayor generalización de conjuntos compactos es sencillo.

Answer 2

Si $k=1$, $r=\frac d2$ es clara.

Si $k=2$,$r\le \frac{\sqrt 3}2 d$.

En general, parece evidente que el peor de los casos es un simplex. No tengo la fórmula asintótica a la mano, pero supongo que $\sup \frac rd$ tiende a $1$$k\to \infty$.