Dado un grupo simple finito $G$, se puede considerar que la quasisimple extensiones $\tilde G$ de % de$G$, es decir central de las extensiones que quedan perfecto. Algunos básico grupo cohomology (basado en el estándar truco de un promedio de un cocycle para intentar hacer de él un coboundary) muestra que hasta un isomorfismo, hay sólo un número finito de tales quasisimple extensiones, y todos ellos son cocientes de un máximo de quasisimple la extensión, la cual es conocida como la universalización de la cobertura de $G$, y es una extensión de $G$ por un número finito de abelian grupo conocido como los Schur multiplicador $H^2(G,{\bf C}^\times)$ de % de $G$ (o tal vez sería un poco más exacto decir que es el Pontryagian doble de la Schur multiplicador, aunque hasta el isomorfismo coinciden los dos grupos).
Ir a través de la lista de finitos simples grupos es sorprendente para mí que tan pequeño sea el Schur multiplicadores son todos ellos; con la excepción de la proyectiva especial lineal de los grupos de $A_{n-1}(q)=PSL_n({\bf F}_q)$ y la proyectiva especial unitaria grupos ${}^2 A_{n-1}(q^2) = PSU_n({\bf F}_q)$, todos los demás finitos simples grupos han Schur multiplicador de orden no mayor que 12, y hasta el proyectiva especial lineal y especial unitaria de los grupos de rango $n-1$ no tiene Schur multiplicador de tamaño mayor que $n$ (con excepción de un número finito de pequeños casos excepcionales, pero incluso allí, el más grande de Schur multiplicador tamaño es de 48). En particular, en todos los casos, el multiplicador de Schur es mucho más pequeño que el orden del grupo en sí (de hecho es siempre de orden $O(\sqrt{\frac{\log|G|}{\log\log|G|}})$). Para la comparación, el estándar de prueba de la finitud de la Schur multiplicador (basa en demostrar que todos los $C^\times$valores de cocycle en $G$ es cohomologous a $|G|^{th}$ raíces de la unidad) sólo da la terrible límite superior de $|G|^{|G|}$ para el fin del multiplicador.
En el caso de los finitos simples grupos de Lie tipo, uno puede pensar en la Schur el multiplicador análogo a la noción de un grupo fundamental de una simple Mentira de grupo, que es igualmente pequeño (siendo el cociente del peso de celosía por la raíz de celosía, que no es mayor que $4$ en todos los casos, excepto para el proyectiva especial lineales grupo $PSL_n$, donde es de orden $n$ a lo sumo). Pero esto no explica por qué el Schur multiplicadores para la alternancia y esporádicos grupos son también muy pequeños. Intuitivamente, esto es afirmar que es muy difícil hacer que no trivial de la extensión central de un grupo simple finito. ¿Hay algún conocido explicación (ya sea heurística, riguroso, o semi-riguroso) que ayuda a explicar por qué Schur multiplicadores de finitos simples grupos son pequeños? Por ejemplo, hay resultados de limitar el tamaño de los diversos grupos cohomology los objetos que el apoyo (o al menos ser muy consistente con) la pequeñez de Schur multiplicadores?
Idealmente me gustaría una explicación que no presupone la clasificación de los finitos simples grupos.
