Una topología tal que las funciones continuas son exactamente los polinomios

Question

(Me pidió originalmente esta pregunta en las Matemáticas.SE, donde recibió una gran cantidad de atención, pero no de la solución.)

Que los campos de $K$ puede ser equipado con una topología de tal forma que una función de $f:K \to K$ es continua si y sólo si es una función polinómica $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$? Obviamente, el finito campos con la topología discreta tienen esta propiedad, ya que cada función $f:\Bbb F_q \to \Bbb F_q$ puede ser escrito como un polinomio. Entonces, ¿qué es con infinidad de campos?

No espero una respuesta completa a esta pregunta, pero me atrevería a ser satisfecho si alguien pudiera demostrar la existencia o inexistencia de una topología de tal, incluso para un solo campo, tales como $\Bbb Q, \Bbb R,\Bbb C,\Bbb Q_p$ o $ \Bbb F_q^\text{alg}$.

(Tenga en cuenta que $(K,\tau)$ no es necesariamente un topológico de campo!) $$ $$

Un breve resumen de los comentarios en las Matemáticas.SE: Suponga que usted es un campo de $K$ con una topología $\tau$. A continuación, $\tau$ es necesariamente un $T_0$-espacio y conectado. También, las transformaciones lineales $x \mapsto ax+b$ con $a \in K^\times$, $b \in K$ son homeomorphisms de $\tau$ (y no puede ser de otra homeomorphisms). En el caso especial $K=\Bbb R$, para cada $U \in \tau$ e $a \in \Bbb R$, tenemos $|(-\infty,a)\cap U |=|(a,\infty)\cap U |=2^{\aleph_0}$. Más aún, si existe un intervalo abierto $(a,b)$ y un $U \in \tau$ con $|(a,b)\cap U |<2^{\aleph_0}$, entonces para todos $c,d \in \Bbb R$, $(-\infty,c)\cup (d,\infty) \in \tau$. Como una propuesta para una topología en $\Bbb R$, el más áspero de la topología de tal manera que todos los conjuntos de $p^{-1}(\Bbb Z)$ con $p \in \Bbb R[X]$ están cerrados, ha sido considerada. Obviamente cada polinomio es continuo con respecto a esta topología. Sin embargo, nadie ha dado ninguna razón por la que cada función continua en esta topología debe ser un polinomio.

Answer 1

En el caso de un campo topológico (edit: que contiene los números reales) la respuesta es no. Deje $K$ un infinito campo, con una topología $\tau$ coherente con la algebraicas estructura de campo, a continuación, $(K, +, 0, \tau)$ es un topológica de los grupos. Como usted dice $G$ debe $T_1$ (es decir, $\{0\}$ es cerrado, esto es equivalente a $T_0$ en un grupo topológico), entonces es completamente regular, es decir, funciones continuas separadas conjunto cerrado de puntos, pero si $K$ es infinita la topología $\tau$ no puede ser discreta o indiscreta (en estos casos cualquier función se vuelve permanente, pero un polinomio puede tener sólo un conjunto finito de ceros , a continuación, existe una gran cantidad de funciones no polinómicas), ni $\tau$ podría ser cofinite (es decir, se abre son exactamente complementa finito de conjuntos) porque cofinite topología en un conjunto infinito no es $T_2$. A continuación, existe un infinito cerrado $A$ y un $x\not\in A$ y una función continua que separan a estos, pero el solo hecho de $A$ es infinito este no puede ser el polinomio.

Yo quería escribir esta respuesta como un comentario, pero era demasiado largo