Grupos, grupos cuánticos y (completar el espacio en blanco)

Question

En el estudio de las funciones especiales existen tres niveles de objetos, clásica, básica y elíptica. Estos corresponden a las clásicas funciones hipergeométricas, básica (q-) funciones hipergeométricas, y elíptica funciones hipergeométricas.

En la combinatoria de estas nociones están relacionados con la enumeración, q-enumeración y "elíptica enumeración" (ver este artículo de Schlosser).

Ahora, siempre he relacionado el paso para q análogos-por analogía a la "forma" se pasa de los grupos a los grupos cuánticos. Y de verdad, q-análogos y los grupos cuánticos no son totalmente independientes de los conceptos. Pero esto hace que me pregunte a la pregunta del título, si alguien ha considerado que los grupos cuánticos en el "elíptica nivel", y si es así, cuáles son?

Answer 1

Esa es una buena pregunta, pero creo que hay una confusión fundamental aquí sobre dos posibles funciones de la racional/trigonométricas/elíptica tricotomía -- el que se pide en la pregunta, y el que conduce a elíptico los grupos cuánticos, que son en cierto sentido "de Fourier dual". (Todo lo que entiendo sobre esto he aprendido hablando con Tom Nevins.) Por ejemplo, el R/T/E tricotomía en R-matrices corresponde en quantum grupo mundial de la tricotomía Yangians/quantum afín álgebras/elíptica cuántica grupos, no a grupo/quantum/grupo elíptica cuántica grupo, o en nonquantum mundo a la tricotomía "Mentira álgebra/Mentira/grupo elíptica grupo", sin quantums alrededor. No es que haya una independiente de la noción de un "elíptica grupo", pero usted puede definir mucho acerca de ella en términos de módulos de paquetes en una curva elíptica. Lo que la pregunta es rellenar la tricotomía grupo/quantum/grupo de"elípticamente cuántica" grupo..

Quizás la más sencilla configuración para ver estas dos funciones es en el estudio de sistemas de muchos cuerpos, por ejemplo, la Calogero-Moser sistemas (o, equivalentemente, de meromorphic soluciones de la KP y Toda jerarquías). Estas son completamente integrable sistemas hamiltonianos que describe el movimiento de las partículas en la línea. Inicialmente parece que vienen en tres sabores - racionales, trigonométricas y elíptica marcado por el hecho de la dependencia de la posibilidad de que las posiciones es racional, periódico o doblemente periódica. Esta tricotomía, está muy bien explicado por la tricotomía en R-matrices o en una dimensión algebraica de los grupos de más de $C$ o en irreducibles de género una de las curvas (Weierstrass cúbicas). El espacio de fase puede ser descrito en términos de la cotangente de un lote a un espacio de configuración de puntos (en $C$, $C^\times$ o una curva elíptica), y los correspondientes sistemas cuánticos puede ser descrito en términos de los operadores diferenciales en la correspondiente configuración de los espacios. En teoría de la representación de esta tricotomía aparece en el estudio de tres versiones del bucle de álgebra actual álgebras de $C$, $C^\times$ o $E$ (este último debe ser interpretado más sofisticado).Uno puede (como he mencionado) inventar algo que se llama "una elíptica grupo" por el estudio de la G-paquetes en una curva elíptica, de tal manera que si su curva elíptica adquiere un nodo de obtener el grupo habitual, y si se adquiere una cúspide de obtener el álgebra de la Mentira.. pero de nuevo esto no es la cuestión.

Reclamo este R/T/E tricotomía es, naturalmente, identificado con el uno en las respuestas anteriores, pero "linealmente independientes" (de hecho Fourier doble) a la que en la pregunta. En la integración de los sistemas del mundo, esto se expresa de la siguiente manera: hay una deformación de la Calogero-Moser sistemas de partículas (llamadas Ruijsenaars o Ruijsenaars-Schneider o Macdonald) en la que podemos cambiar el racional de la dependencia en el IMPULSO a trigonométricas dependencia de impulso. Esto corresponde a los cambios de la lineal de Poisson de la estructura de la cotangente del paquete para el espacio de configuración para una ecuación cuadrática uno en el multiplicativo de la cotangente del paquete de configuración del espacio (sustituye todos los $C$'s por $C^\times$'s). Cuando nos quantize este cuadrática de Poisson soporte obtenemos la DIFERENCIA, en lugar de los operadores diferenciales, y una relación con los grupos cuánticos en lugar de los grupos como en el caso de la CM.

Integrar los sistemas de las personas (por ejemplo, Nekrasov, Gorsky y colaboradores) como expresar esto, a través de 3 x 3 cuadrados : podemos havce R/T/E dependencia de la posición anterior, o R/T/E la dependencia en el momenta.. excepto que no se tiene una buena definición (AFAIK) de lo elíptico de la dependencia en el momenta de MEDIOS, salvo a través de la transformada de Fourier, el intercambio de posición y momenta - así se puede definir elíptica momenta/racional posiciones por ejemplo cambiando el orden..

En cualquier caso la fila "racional momenta" se refiere a (loop) de los grupos, "trig momenta" se refiere a los grupos cuánticos. Así que la pregunta es ¿cuál es la elíptica versión? Hay varias pistas de la teoría de cuerdas (ver los trabajos de Nekrasov eg--- racional de la fila se refiere a SUSY 4dimensional teoría de gauge a través de la Seiberg-Witten solución, la trigonométricas fila para 5dimensional teoría de gauge, y la elíptica en fila debe venir de la misteriosa "5-branas la teoría de la" o "de 6 dimensiones (0,2) CFT")...

Pero tal vez la más concreta respuesta que puedo dar es motivado por Nakajima del trabajo (véase, por ejemplo su ICM). Usted puede darse cuenta de las representaciones de la (loop) de los grupos (de simples grupos de tipo ADE) en equivariant cohomology de la aljaba de variedades. Si reemplaza equivariant cohomology por equivariant K-teoría, se encuentra la teoría de la representación de quantum (afín) álgebras. Así que esto le da un lugar natural para buscar la elíptica análogo --- tratar de comprender la equivariant elíptica cohomology de la aljaba de variedades! tales ideas fueron expuestas por el Grojnowski, Ginzburg-Kapranov-Vasserot, y otros, pero una buena teoría de equivariant elíptica cohomology sólo fue desarrollada muy recientemente por Lurie, por lo que uno puede pensar en este tipo de preguntas de nuevo.

Answer 2

Elíptica soluciones de la clásica de Yang-Baxter ecuación (CYBE) sólo existe en la $\mathfrak sl_n$ de los casos. En el caso general, hay elíptica soluciones de la dinámica CYBE, que es una algebraico-diferencial de la ecuación de la generalización de la CYBE. Usted puede utilizar una elíptica dinámicos $r$-matriz para definir un plano de conexión (el KZB conexión) en el espacio de configuración de $n$ puntos sobre el toro que lleva a monodromy representaciones del toro de la trenza de grupo.

Este monodromy de morfismos puede ser expresado mediante el buen viejo KZ asociador, y el monodromy operadores permite construir un ejemplo de una estructura elíptica sobre un trenzado de categoría monoidal. Elíptica estructuras juega el mismo papel para el toro de la trenza de grupo como el trenzado monoidal categorías para los habituales de la trenza de grupo.

http://arxiv.org/abs/math/0702670

Edit: la referencia básica sobre la respuesta de Bruce y Elípticos y los grupos cuánticos : http://arxiv.org/abs/hep-th/9412207 . Rmk: la dinámica CYBE se llama modificado CYBE en este trabajo.

Editar en la luz de David Ben-Zvi la respuesta: yo no estaba hablando acerca de esta tricotomía, sino más bien; indicándolo así la existencia de elíptica categorías principales a las representaciones de la elíptica de la trenza del grupo, siguiendo la sugerencia de David Roberts que uno debe ver los grupos cuánticos por su trenzado de categoría monoidal de los módulos. Pero el hecho de que $r$-matrices y el (dinámico) Yang Baxter ecuación entra en juego no es realmente una coincidencia.

Roughlys hablando, en el KZ mundo, racional $r$-de las matrices conduce a monodromy representaciones de la trenza de grupo $B_n$, la cual puede ser utilizada para construir trenzado monoidal categorías. Si usted toma el trivial $r$-matrice $r=0$ estas representaciones factor a través de las representaciones de $S_n$, por lo que, en cierto sentido, recuperar la simétrica categorías de módulo a través de una Mentira grupo. Para los que no trivial racional $r$-matrices, consigue trenzado monoidal categorías, y los grupos cuánticos por el Kohno--Drinfeld teorema. Para trigonométricas uno, consigue representaciones del cilindro de la trenza de grupo, los asociados categórica idea es que de trenzado módulo de categoría (de ahí comodules sobre los grupos cuánticos). Finalmente, elíptica soluciones de la (dinámico) de Yang-Baxter ecuación, se obtiene elíptica categorías. El asociado algebraicas noción parece estar fuertemente relacionados con quantum análogos de la álgebra de operadores diferenciales en una Mentira grupo : http://arxiv.org/abs/0805.2766v2

Me salto hace que mi respuesta más claro :)

Answer 3

Sí, pero no puedo encontrar las referencias. Hay una tricotomía para soluciones a la ecuación de Yang-Baxter. Las tres categorías son racionales, trigonométricas, elípticas. Las soluciones elípticas conducen a grupos cuánticos elípticos. Esperemos que obtenga una mejor respuesta.

Answer 4

La navegación a través de las respuestas a esta pregunta vieja, estoy sorprendido de que nadie menciona la Sklyanin álgebra, lo que sin duda es el primer y más importante ejemplo de una elíptica cuántica grupo. Fue introducido por Sklyanin en 1982, antes de Drinfeld explicó los grupos cuánticos a las matemáticas de la comunidad. El Sklyanin el álgebra es construido a partir de la R-matriz de los ocho vértices del modelo en mucho la misma manera como el estándar de SL(2) quantum grupo se construye a partir de los seis vértices del modelo. En Baxter solución de los ocho vértices del modelo, un paso clave es que el R-matriz es equivalente a (a través de un vértice de la cara de transformación) a una dinámica R-matriz. A partir de esta dinámica R-matriz conduce a una Felder-tipo elíptico cuántica grupo como se mencionó en Adrien de la respuesta.

Usted menciona elíptica funciones hipergeométricas. Están vinculados a ambos Sklyanin - y Felder-tipo elíptico cuántica grupos completamente en una manera similar a como lo clásico funciones hipergeométricas están vinculados a la Mentira de los grupos básicos y funciones hipergeométricas estándar (no-elípticas) los grupos cuánticos.

Answer 5

¡Hitoshi Konno, junto con algunos trabajos anteriores con Jimbo et al., Han trabajado los grupos cuánticos elípticos, especialmente sl2, de manera muy explícita y todos los cálculos son maravillosos!