¿Mapa de ruta hacia la teoría de la representación geométrica (que lleva a Langlands)?

Question

Creo que ha habido al menos una pregunta similar a esta y sin embargo creo que esta pregunta en particular merece tener un hilo propio.

Cada vez me fascinan más las cosas relacionadas con la teoría de la representación geométrica ( $D$ -Módulos, cuantización geométrica, Langlands y CFT).

Es justo decir que me atrae sobre todo la parte geométrica, pero recientemente, después de leer un poco sobre la clasificación de las álgebras de Lie semisimples, he descubierto la belleza de los aspectos no geométricos también. Aun así, creo que mis conocimientos sobre el aspecto de la representación son mucho más básicos que los del aspecto geométrico.

Por lo tanto, mi pregunta es triple:

1. ¿Cuáles son los resultados más importantes/que hay que conocer en el campo hasta ahora? (incluso las palabras de moda como "BB-lcalización" pueden ser útiles).

2. ¿Cuánto más allá de las representaciones finitas de los grupos finitos hay que saber antes de ¿se sumerge en este tema? (Ejemplo: ¿Es el conocimiento de la clasificación de las álgebras mentirosas semisimples reales un prerrequisito para "Módulos D, láminas perversas y teoría de la representación" ?).

3. ¿Cuál sería una buena hoja de ruta para la teoría de la representación geométrica con vistas a las Langlands geométricas? ¿En particular, uno dirigido a un geómetra con una formación mínima en teoría de la representación?

Por "geómetra" me refiero a alguien con suficiente formación en Geometría Diferencial/Compleja/Moderna-Algebraica como para encontrarse con el lado geométrico de la historia mientras que sólo tiene conocimientos de representación de grupos finitos en el lado de la representación.

Answer 1

Como esto tiene muchas respuestas, voy a poner lo que se me ocurre.

Parece que te conformarías con no preocuparte por los campos semisimples reales o de otro tipo y simplemente concederte el uso de $\mathbb{C}$ y de $\mathbb{C}((t))$ . Esa sería la opción más segura para especializar todo a esto.

Así que ya has leído alguna clasificación de semisimples por lo que supongo que tienes algunos cálculos de caracteres de Weyl hechos.

Algo de teoría de la representación ordinaria:

1. Por qué se va a restringir a la categoría $\mathcal{O}$ . Cómo se divide en bloques.
2. Functores de traducción sobre lo anterior
3. Isomorfismo clásico de Satake mediante $\mathbb{C}((t))$ . ( Tenga en cuenta que wikipedia utiliza una definición más estricta ). Satake pre-geométrico.

Cálculos a realizar:

1. Haz algunas factorizaciones de Birkhoff
2. Trivializar algún haz vectorial de pequeño rango V en una curva compleja sobre el complemento de un número finito de puntos.
3. Módulos D en $\mathbb{P}^1$ , obtenga un ejemplo de BB. Escribe estos operadores diferenciales y escoge algunos $\mathcal{D}$ módulos para ver qué repeticiones dan.
4. Algunas descomposiciones de Bruhat. Tal vez hacer un ejemplo no tipo A. Parametriza una celda doble de Bruhat tan bien como puedas mientras estés aquí.

Buzz-People:

1. Mirkovic-Vilonen
2. Gan-Ginzburg
3. Peter-Weyl algebraico
4. Paquete de Higgs y sistema Hitchin
5. Riemann-Hilbert
6. Fourier-Mukai
7. Deligne - Teoría geométrica de campos abelianos
8. Polinomios de Kazhdan-Lusztig
9. Braden-Licata-Proudfoot-Webster

Las listas están en el orden en que se me ocurrieron; el orden no es significativo.