Es la suma de los dígitos de $3^{1000}$ un múltiplo de $7$ ?
La suma de los dígitos de $3^{1000}$ puede calcularse con un ordenador. Es igual a $2142$ por lo que la respuesta es positiva.
¿Existe alguna prueba breve de que la suma de los dígitos de $3^{1000}$ es múltiplo de $7$ sin utilizar un ordenador?
¿Tiene algún consejo para resolver este tipo de problema (sin programar, por supuesto)?
Los resultados que figuran a continuación son conocidos:
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$3^{1000}$ tiene $478$ dígitos, por lo que la suma es como máximo $4302$ ( $9\cdot478$ ).
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Esta suma es múltiplo de $9$ .
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Los cuatro últimos dígitos de $3^{1000}$ son $0001$ .
Contexto: Somos un grupo de 3 franceses que trabajamos en ello desde 2007. Es un pequeño ejercicio que encontré en mi libro de bachillerato (impreso en 2007) que es bastante complicado. El que creó este ejercicio no sabe la respuesta.
Esta pregunta se formuló anteriormente en Math.SE (enlace) .
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"Somos un grupo de 3 franceses trabajando en ello desde 2007". ¡OMG!
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Parece que esta pregunta se publicó en MSE, y una respuesta allí sugirió preguntar aquí. math.stackexchange.com/questions/2433244/suma-de-dígitos-de-31000
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Personalmente creo que los que aparcan esta cuestión podrían plantearse retraer la bandera, ya que esta cuestión no parece tan sencilla como a primera vista.
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@Lwins.Gafield No hay bandera, sino una votación final. Por otro lado, hay "votos de reapertura", que no afectan específicamente a los que cerraron la pregunta (una vez cerrada la pregunta, los votos de cierre no se pueden retractar). Probablemente se requiera un mínimo de reputación, no estoy seguro de cuánto. Supongo que pronto se reabrirá la pregunta.
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Este comando de Mathematica devuelve el resto de la suma de dígitos de $3^n$ , $n=1,2,\ldots 1000$ --- ¿existe un patrón? Tabla[Mod[Total[IntegerDigits[3^n, 10]], 7], {n, 1, 1000}]
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Esta no es una pregunta a nivel de investigación, votar para cerrar. O encendemos un ordenador y lo hacemos, o estamos hablando de matemáticas pedagógicas.
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Para que quede claro el enclenque número discutido es 3^1000 = 1322070819480806636890455259752144365965422032752148167664920368226828597346704899540778313850608061963909777696872582355950954582100618911865342725257953674027620225198320803878014774228964841274390400117588618041128947815623094438061566173054086674490506178125480344405547054397038895817465368254916136220830268563778582290228416398307887896918556404084898937609373242171846359938695516765018940588109060426089671438864102814350385648747165832010614366132173102768902855220001, la suma de dígitos es 2142 = 2 3² 7 17. Cabe en un comentario.
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@AndrejBauer Estoy de acuerdo con su opinión de que este no es una pregunta a nivel de investigación. Sin embargo, ¿qué pasaría si simplemente cambiamos $3^{1000}$ a $3^n$ o hacer algo parecido? En realidad, esta pregunta ya ha quedado en suspenso una vez.
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¿No se puede utilizar recursivamente el criterio de divisibilidad por 7 que consiste en truncar el entero considerado antes del dígito unidad y restarlo dos veces?
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@SylvainJULIEN No veo cómo, ya que estamos hablando de que la suma de dígitos es divisible por $7$ y no sabemos nada de la expansión decimal de esta suma.
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@AndrejBauer No has entendido la pregunta. Es la suma de dígitos de $3^n$ que consideramos.
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Sí, sigo escribiendo la fórmula equivocada en Mathematica, ¡lo siento! Vale, si la pregunta fuera "qué pasa con la secuencia de sumas de dígitos de potencias de 3 módulo 7" eso sería algo que podríamos discutir. Pero eso es no qué este pregunta. El OP debería al menos editar la pregunta.
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Lwins, o cualquiera de los presentes, ¿puede formular una pregunta, más precisa que "qué se puede decir", sobre la suma de dígitos de $3^n$ módulo reducido $7$ ?
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@Joël : Podríamos preguntarnos si la pregunta "Digitsum $(3^n) \equiv 0 \pmod 7$ ?" se responda en tiempo polinomial en $\log n$ ?
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@coudy off-by-one error en el rango de d, y por lo tanto la fracción debe ser 1/7
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Me alegra ver que esta pregunta no se ha cerrado. Aunque la pregunta tenga un enunciado elemental, no significa que sea fácil. Además de calcular la suma de los dígitos de $3^{1000}$ y comprobar que es divisible por 7 es diferente a demostrarlo sin ayuda del ordenador. Si alguien aquí tiene hijos en la escuela entonces usted sabe - hoy en día los niños no saben la tabla de multiplicar hasta 100. Ellos usan los teléfonos inteligentes para calcular. Utilizan los smartphones para calcular. Los matemáticos hacen lo mismo :)
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Ver una prueba informática de cualquier hecho sobre la suma de dígitos de este número no es satisfactorio ni esclarecedor. Dejemos de quejarnos de la pregunta y enfoquemos este problema como matemáticos, no como ingenieros con acceso a WolframAlpha.
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El enfoque habitual de los matemáticos es evitar la mayoría de las preguntas sobre cifras decimales.
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@AndrejBauer ¿Podría definir con precisión qué es una pregunta a nivel de investigación? Sigo teniendo muchas dificultades para comprender esta noción. Qué tipo de pregunta merece llamarse "de nivel de investigación" y qué tipo de pregunta no es "de nivel de investigación". No es un trabajo casero, y eso no parece ser trivial. He votado a favor de esta pregunta, aunque no me interese.
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No he votado a la baja, pero el problema que tengo con la pregunta, además de la nimiedad que $1000$ debe ser cualquier $n$ es que no veo ningún indicio de que sea más natural o accesible (incluso eurísticamente) que una miríada de similares (sobre sumas de dígitos de $e$ , $\sqrt{2}$ o de los números de Fibonacci, o (mod $7$ ) comportamiento de A077468, etc.). No veo aquí ninguna mención a un truco, herramienta o anomalía desconcertante que pudiera haber sido remotamente útil, aunque en una inspección más cercana no lo fuera. ¿Se debe el voto masivo a que una primera lectura de las preguntas hace pensar que es trivial, y luego viene la sorpresa o la culpa?
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Estoy de acuerdo con Yaakov. No entiendo la votación masiva.
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@PhilippeGaucher: no, no voy a definir "qué es precisamente una pregunta a nivel de investigación", y no voy a caer en tales peticiones manipuladoras. Puede "definirlo" usted mismo, pero probablemente sería más productivo leer las FAQ correspondientes.
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@coudy la primera pregunta de este ejercicio es : cual es el ultimo digito de $3^{1000}$ que es muy fácil. Todavía tengo el libro de texto y no cometí ningún error ... lo siento.
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@coudy el nombre del libro es <Mathématiques Tome 2, 4eme année de l'enseignement supérieur "Math">.
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@Lezraf ¿quién es el editor y el autor del libro? Supongo que se editó en 2007.
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@coudy Ministerio de Educación de Túnez...Uno de los redactores era mi vecino, no sabe la respuesta...sí la primera versión fue en 2007
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@coudy: a mi este problema me parece inexpugnable, pero seguramente me puede faltar intuición o imaginación y estoy de acuerdo en que estaba bien intentarlo aquí. SIN EMBARGO no ha habido en ninguna parte de este hilo ninguna sugerencia de alguna característica de la multiplicación por $3$ , $9$ etc, que puedan incluso conectarse remotamente con mod $7$ propiedades de los dígitos decimales, o de cualquier patrón en dichos dígitos, sus sumas y residuos, que no parezca irremediablemente aleatorio... Así que 30 upvotes netos + 17 favoritos y contando, porque caso $n=1000$ estaba en un oscuro libro de secundaria, quizá como ejercicio de programación, parece exagerado.
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@coudy es un ejercicio normal entre otros, el nombre del capítulo es "divisibilidad en Z" No tiene nada que ver con programación, te puedo enviar una foto (está en francés)
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¿Alguien tiene una pista para saber si la suma de $3^{1000}$ ¿es divisible (o no divisible) por cualquier número (2, 4, etc.) que no sea 3 ó 9?
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@Lezraf: $9$ es especial porque la operación "carry" cambia un $10$ a $1$ , que es lo mismo mod $9$ . Del mismo modo, si haces sumas de dígitos con signos alternos, $11$ es especial porque un acarreo cambia 10 a -1. Si desea un operador sobre los dígitos para los que $7$ es especial, se aplican a los dígitos multiplicadores dados por las potencias de $3$ mod $7$ : $1,3,2,6,4,5,\dots$ o $1,3,2,-1,-3,-2,\dots$ ya que ahora un acarreo cambia a $10$ a un $3$ , que no es ningún cambio mod $7$ . Espero que esto aclare por qué $9$ y sólo $9$ es especial cuando se aplican a los dígitos los multiplicadores $1,1,1...$ .