Un teorema de Hecke (discutido en esta pregunta ) muestra que si $L$ es un campo numérico, entonces la imagen de los diferentes $\mathcal D_L$ en el grupo de clase ideal de $L$ es un cuadrado.
La prueba de Hecke, y todas las demás pruebas que conozco, establecen esto esencialmente mediante evaluando todos los caracteres de la clase ideal cuadrática en $\mathcal D_L$ y mostrando que el resultado es trivial; así demuestran que la imagen de $\mathcal D_L$ es trivial en el grupo de clases ideales mod. cuadrados, pero en realidad no presentan una raíz cuadrada de $\mathcal D_L$ en el grupo de clase ideal.
¿Existe alguna construcción conocida (en general, o en algunos casos interesantes) de un ideal cuyo cuadrado pueda demostrarse que es equivalente (en el grupo de clases ideales) a $\mathcal D_L$ .
Nota: Se puede hacer una pregunta análoga cuando se sustituyen los anillos de enteros por álgebras de Hecke que actúan sobre espacios de formas modulares, y entonces en algunas situaciones sé que la respuesta es sí . (Ver este documento .) Esto me da cierta esperanza de que pueda haber una construcción en este contexto aritmético también. (El paralelismo entre el contexto de Hecke (es decir, el entorno del campo numérico) y el entorno del álgebra de Hecke es algo que aprendí de Dick Gross). campo numérico) y el contexto del álgebra de Hecke es algo que aprendí de Dick Gross).
Añadido: El interesantísimo comentario de Unknown a continuación parece demostrar que la respuesta es "no", si se interpreta "canónico" de forma razonable. A la luz de esto, voy a plantear otra pregunta que es un endurecimiento de ésta.
Pensándolo bien: Tal vez haga una pregunta de seguimiento en algún momento, pero creo que necesito más tiempo para reflexionar sobre ello. Mientras tanto, me pregunto si se puede decir algo más sobre esta cuestión, si no en general, sí en algunos casos interesantes.
