¿Tiene (la clase ideal de) los diferentes de un campo numérico una raíz cuadrada canónica?

Question

Un teorema de Hecke (discutido en esta pregunta ) muestra que si $L$ es un campo numérico, entonces la imagen de los diferentes $\mathcal D_L$ en el grupo de clase ideal de $L$ es un cuadrado.

La prueba de Hecke, y todas las demás pruebas que conozco, establecen esto esencialmente mediante evaluando todos los caracteres de la clase ideal cuadrática en $\mathcal D_L$ y mostrando que el resultado es trivial; así demuestran que la imagen de $\mathcal D_L$ es trivial en el grupo de clases ideales mod. cuadrados, pero en realidad no presentan una raíz cuadrada de $\mathcal D_L$ en el grupo de clase ideal.

¿Existe alguna construcción conocida (en general, o en algunos casos interesantes) de un ideal cuyo cuadrado pueda demostrarse que es equivalente (en el grupo de clases ideales) a $\mathcal D_L$ .

Nota: Se puede hacer una pregunta análoga cuando se sustituyen los anillos de enteros por álgebras de Hecke que actúan sobre espacios de formas modulares, y entonces en algunas situaciones sé que la respuesta es sí . (Ver este documento .) Esto me da cierta esperanza de que pueda haber una construcción en este contexto aritmético también. (El paralelismo entre el contexto de Hecke (es decir, el entorno del campo numérico) y el entorno del álgebra de Hecke es algo que aprendí de Dick Gross). campo numérico) y el contexto del álgebra de Hecke es algo que aprendí de Dick Gross).

Añadido: El interesantísimo comentario de Unknown a continuación parece demostrar que la respuesta es "no", si se interpreta "canónico" de forma razonable. A la luz de esto, voy a plantear otra pregunta que es un endurecimiento de ésta.

Pensándolo bien: Tal vez haga una pregunta de seguimiento en algún momento, pero creo que necesito más tiempo para reflexionar sobre ello. Mientras tanto, me pregunto si se puede decir algo más sobre esta cuestión, si no en general, sí en algunos casos interesantes.

Answer 1

El siguiente ejemplo muestra que, en su forma más fuerte, la respuesta a la pregunta del profesor Emerton es no. Esta respuesta es esencialmente una elaboración de lo que ya está en los comentarios.

Dejemos que $p \equiv q \equiv 5 \pmod 8$ . Sea $K/\mathbb{Q}$ sea una extensión cíclica de grado cuatro totalmente ramificada en $p$ y $q$ y no ramificado en todas las demás partes (existe). Para facilitar la vida, supongamos que el $2$ -parte de la clase grupo de $K$ es cíclico. El grupo de Galois de $K$ es $G = \mathbb{Z}/4 \mathbb{Z}$ . Sea $C$ denotan el grupo de clase de $K$ . Afirmo que $C^G$ es cíclico de orden dos. Dado que el $2$ -parte de $C$ es cíclico, esto equivale a demostrar que $C_G$ es cíclico de orden dos. Por la teoría del campo de clases, $C_G$ corresponde a una extensión de Galois $L/\mathbb{Q}$ sin ramificaciones en todas partes sobre $K$ tal que existe una secuencia exacta

$$1 \rightarrow C_G \rightarrow \mathrm{Gal}(L/\mathbb{Q}) \rightarrow \mathbb{Z}/4 \mathbb{Z} \rightarrow 1.$$

Si $\Gamma$ es cualquier grupo finito con centro $Z(\Gamma)$ entonces un fácil ejercicio muestra que $\Gamma/Z(\Gamma)$ es cíclico sólo si es trivial. Deducimos que $L$ es el campo de género de $K$ . Hay una extensión de grado cuatro $M/L$ contenida dentro del campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_p,\zeta_q)$ que no está ramificado sobre $K$ en todos los primos primos. Sin embargo, las condiciones de congruencia en $p$ y $q$ fuerza $K$ para ser (totalmente) real y $M$ (totalmente) complejo. Así, $M/K$ se ramifica en los infinitos primos, y $C_G = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ y se establece la reclamación.

Observamos, de paso, que $L = K(\sqrt{p}) = K(\sqrt{q})$ .

Supongamos que existe existe un canónico elemento $\theta \in C$ tal que $\theta^2 = \delta_K$ , donde $\delta_K$ es el diferente de $K$ . Los diferentes $\delta_K$ es invariable bajo $G$ . Si $\theta$ es canónica en el sentido más fuerte, entonces también debe ser invariante bajo $G$ . En particular, el elemento $\theta \in C^G$ debe tener un orden que divide a dos, y por lo tanto $\theta^2 = \delta_K$ debe ser trivial en $C$ . Concluimos que si $\delta_K$ no es principal, no hay tal $\theta$ existe.

Queda por demostrar que existen primos $p$ y $q$ tal que $\delta_K$ no es principal y el $2$ -parte de $C$ es cíclico. Un cálculo muestra que esto es así para $p = 13$ y $q = 53$ . Para los que juegan en casa, $K$ se puede tomar como el campo de división de $$x^4 + 66 x^3 + 600 x^2 + 1088 x - 1024,$$ donde $C = \mathbb{Z}/8 \mathbb{Z}$ y $\delta_K = [4]$ . $C$ es generado por (cualquier) primo $\mathfrak{p}$ dividiendo $2$ y $G$ actúa sobre $C$ mediante el cociente $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , enviando $\mathfrak{p}$ a $\mathfrak{p}^3$ .

Answer 2

Dejemos que $N/K$ sea una extensión de Galois finita de campos numéricos, con grupo de Galois $G$ , entonces la fórmula de Hilbert para la valoración de los diferentes en un ideal primo $P$ de $N$ afirma que: $$v_P(D)=\sum_{i\geq 0}(|G_i(P)|-1)$$ donde $G_i(P)$ es el $i$ -grupo de ramificación (en notación inferior) en $P$ en $N/K$ y $|G_i(P)|$ es su orden. La suma es finita ya que $G_i(P)=\{1\}$ para grandes $i$ es un número entero par si $G$ es de orden impar, ya que esto obliga a sus subgrupos $G_i(P)$ ser de orden impar también para cualquier $i$ , cualquier $P$ .

De ello se deduce que, en cualquier extensión de Galois de grado impar de campos numéricos, existe un ideal fraccionario cuyo cuadrado es igual al inverso diferente. Este ideal fraccionario, conocido como la "raíz cuadrada del diferente inverso", tiene ricas propiedades como módulo de Galois y como módulo hermitiano, que fueron reveladas y estudiadas por primera vez por Boas Erez, véase, por ejemplo

MR1128708 (92g:11108) Erez, B. The Galois structure of the square root of the inverse different. Math. Z. 208 (1991), no. 2, 239-255.

En conclusión obtenemos un poco más de lo que se pedía en el caso de la extensión de Galois de grado impar (un ideal cuyo cuadrado es igual al inverso diferente, no sólo con la misma clase). Pero esto no dice nada en el caso de grado par o no Galois.

Answer 3

Permítanme señalar que me gustaría interpretar "canónico" en un sentido menos estricto. Para explicar lo que quiero decir, considere la siguiente pregunta:

¿Existe una raíz cuadrada canónica de $-1$ módulo de los primos $p = 4n+1$ ?

Si canónico significa que el resultado debe ser independiente de cualquier automorfismo del grupo de la clase de residuos modulo $p$ entonces la respuesta es no: de $i$ es una respuesta, entonces el automorfismo que envía cada clase de residuo a su inversa enviará $i$ a la otra raíz $-i$ .

Sin embargo, aceptaría $i \equiv (\frac{p-1}2)! \bmod p$ como respuesta a la pregunta.

Edición 2 (28.07.10) Todavía estoy pensando en qué debe significar canónico en este contexto. La clase ideal de la raíz cuadrada se define hasta clases de orden $2$ ¿no significa esto que una elección "canónica" de esta clase ideal debería ser un elemento del grupo $Cl(K)/Cl(K)[2]$ ?

Editar. Tratando de generalizar el ejemplo de la medusa sin fricción he llegado a los siguientes resultados (que hasta ahora sólo he demostrado parcialmente).

Dejemos que $p$ y $q$ sean dos números primos con $p \equiv q \equiv 1 \bmod 4$ . Existe una extensión cíclica cuártica única $K/\mathbb Q$ con conductor $pq$ y discriminante $p^3q^3$ . Sea $\mathfrak p$ y $\mathfrak q$ denotan los ideales primos en $K$ por encima de $p$ y $q$ . Entonces $diff(K/\mathbb Q) = {\mathfrak p}^3 {\mathfrak q}^3$ . Además, ${\mathfrak p}^2 {\mathfrak q}^2 = (\sqrt{pq}\,)$ es principal, por lo que la clase ideal de los diferentes es trivial o tiene orden $2$ .

Teorema Si $(p/q) = -1$ entonces $ Cl_2(K) \simeq [2]$ si $p \equiv q \equiv 5 \bmod 8, $ y $Cl_2(K) \simeq [4]$ por otra parte. En ambos casos, el $2$ -campo de clase de $K$ es abeliano sobre $\mathbb Q$ por lo que es igual a su campo de clase de género.

Las clases ideales de cada uno de los ideales primos anteriores $\mathfrak p$ y $\mathfrak q$ genera el $2$ -grupo de clase.

Tomando $p=5$ y $q = 17$ da un ejemplo de raíz cuadrada "no canónica". Todavía no he encontrado un criterio que me diga cuando la diferente es principal y cuando su clase tiene orden $2$ . Ambos casos se dan.

El caso en el que $p$ y $q$ son residuos cuadráticos entre sí es más complicado, más interesante (y más conjetural):

Teorema Supongamos que $(p/q) = +1$ y que $p \equiv q \equiv 5 \bmod 8$ . Entonces $Cl_2(K) \simeq [2,2]$ si $(p/q)_4 (q/p)_4 = -1$ , $Cl_2(K) \simeq [4] $ si $(p/q)_4 = (q/p)_4 = -1$ y $Cl_2(K) \simeq [2^n], \ n \ge 3$ si $(p/q)_4 = (q/p)_4 = +1$ .

_

Si $(p/q)_4 = (q/p)_4 = -1$ entonces las clases ideales $[\mathfrak p]$ y $[\mathfrak q]$ son cuadrados, pero no cuartas potencias; en particular, la diferente es principal.

Si $(p/q)_4 = (q/p)_4 = +1$ Hay dos casos:

_

_* $h_2(K) = h_2(k)= 2^n$ Entonces $[\mathfrak p]$ y $[\mathfrak q]$ ambos tienen orden $2$ y lo diferente es lo principal.2. $h_2(K) = 2h_2(k)= 2^n$ ; entonces, o bien $\mathfrak p$ o $\mathfrak q$ es principal, mientras que el otro ideal genera una clase de orden $2$ . En particular, la clase ideal de los diferentes tiene orden $2$ ._

Answer 4

Hace poco, Melanie Wood me explicó lo siguiente. (Lo que sigue es un resumen de algunos resultados de su preimpresión aquí (véase, en particular, la discusión en la parte superior de la página 3).

Si $f$ es un binario irreducible primitivo $n$ -con coeficientes en $\mathbb Z$ entonces podemos considerar el lugar $S_f$ en $\mathbb P^1_{\mathbb Z}$ que $f$ se corta. Esto será finito sobre $\mathbb Z$ y, por tanto, es igual a Spec $R$ , donde $R = H^0(S_f, \mathcal O)$ . El finito $\mathbb Z$ -Álgebra $R$ será un orden en un campo numérico de grado $n$ . No todos los pedidos en todos los campos numéricos surgen de esta manera (si $n >3$ ), pero ciertamente algunos lo hacen.

Ahora resulta que la restricción de $\mathcal O(n-2)$ a $S_f$ (que es una gavilla invertible en $S_f$ y por lo tanto da una clase ideal de $R$ ) es canónicamente isomorfo a la inversa diferente de $R$ y, por tanto, si $n$ es incluso entonces podemos considerar la restricción a $S_f$ de $\mathcal O((n-2)/2)$ y así obtener una raíz cuadrada de la inversa diferente de $R$ .

Como se explica en el preimpreso enlazado anteriormente, $R$ por sí sola no basta para determinar $f$ ; más bien $f$ se determina por $R$ junto con alguna estructura ideal-teórica adicional. Así que (hasta donde yo sé) esta construcción de la raíz cuadrada no depende de $R$ solo, sino con datos adicionales. Sin embargo, da una respuesta muy interesante a mi pregunta en los casos en que se aplica.

Answer 5

Ya que pediste casos especiales en los que se sabía algo, me gustaría mencionar este documento que encontré por casualidad :

MR2019023 (2004j:11135) Vinatier (Stéphane), Sobre la raíz cuadrada del codiferente. Les XXIIèmes Journées Arithmetiques (Lille, 2001). J. Teórico. Números Burdeos 15 (2003), nº 1, 393--410

que comienza afirmando que el codiferente de un impar -extensión galoisiana de un grado $N|{\bf Q}$ tiene una raíz cuadrada canónica.