Creyendo las conjeturas

Question

En la Creencia de que los axiomas (I y II), Penélope Maddy propone cinco "reglas de oro" que luego se utiliza para justificar el gran cardenal axiomas de la teoría de conjuntos. Estos extrínseca reglas se modelan después de que el desarrollo de la teoría de conjuntos y las técnicas de las ciencias naturales. Como tal, las aplicaciones de estas normas debe ser encontrado en todas las ramas de las matemáticas. La mayoría de contexto natural, para que estos a manifestarse es a través de las conjeturas que se obtienen por la aplicación de una de estas reglas básicas en el contexto. Me gustaría escuchar acerca de tales conjeturas (abierto o cerrado, grande o pequeño, verdadero o falso) en su área.

Maddy cinco reglas de oro son:

• Maximizar: Este es el opuesto de la Navaja de Occam. La idea es que el universo debería ser tan grande como sea posible, cualquier cosa que pueda ocurrir en caso de producirse realmente.

• Inexhaustibility: Esta es la idea de que el universo es demasiado rico para ser generado por un puñado de bloques de construcción básicos: debe ser trascendental de los objetos.

• Caprichosa identidad: Un objeto es poco probable que sea el único objeto de satisfacer una propiedad que no pertenecen directamente al objeto en cuestión.

• Uniformidad: La riqueza del universo no debe localizar en una parte particular, similar riqueza debe ser encontrado en todos convenientemente grandes partes.

• Reflexión: Si existe un objeto con una propiedad determinada, a continuación, debe haber también un pequeño (o simple) objeto con la propiedad.

La breve descripciones son mías. Estas fueron formuladas por Maddy en el conjunto de la teoría de contexto, he intentado frase de una manera que tenga sentido en un montón de otros contextos. Interpretar libremente: objeto, la propiedad, el universo puede ser cualquier cosa que desee.

Tenga en cuenta que estas reglas de oro no son siempre buenas ideas y sus puntos negativos son a veces demasiado plausible. Aunque estoy buscando, fundamentalmente, de las conjeturas formuladas en sentido positivo, creo que la negativa de las conjeturas son también aceptables si la principal razón para no creer que la conjetura es uno de los cinco reglas de arriba. Por ejemplo, creo que la Conjetura de Poincaré puede ser entendido como un ejemplo negativo de la caprichosa identidad de la regla.

Estándar de la Gran Lista de reglas que se aplican... Un ejemplo por respuesta por favor! Trate de incluir una breve contexto para el beneficio de personas fuera de su área.

Answer 1

Un ejemplo de la negación de la reflexión de la norma en análisis complejo/geometría es el Oka principio, a menudo de manera informal se expresa como `lo que se puede hacer de forma continua (en Stein colectores), se puede hacer holomorphically" El punto de partida es el siguiente teorema de 1939 por K. Oka: El Primo segundo problema en un dominio de holomorphy puede ser resuelto por la holomorphic funciones si puede ser resuelto por funciones continuas.

Esto niega la regla (o eso creo), porque holomorphic objetos son más complicados que continua queridos.

Más aplicaciones de Oka principio puede ser encontrado en la encuesta por Forstneric y Larusson, que se encuentra aquí:

http://nyjm.albany.edu/j/2011/17a-2v.pdf

y en G. Elencwajg la respuesta a la pregunta MO

La mayoría de los útiles heurística?

Las respuestas a esta pregunta puede ser probablemente extraído para obtener más ejemplos/contraejemplos.

Answer 2

Al principio me escribió esto como un comentario, pero lo tengo muy largo y es una especie de que contiene un ejemplo, así que aquí va. La reflexión parece falso en un número de contextos, ya que hay muchas propiedades que no pueden ser satisfechas en cualquier forma canónica. Por ejemplo, no hay un sencillo o pequeño base de los reales sobre los racionales.

Pero tal vez más en el espíritu de la cuestión de las construcciones que requieren el axioma de elección son una serie de extraños Banach-espacio contraejemplos que se construyen utilizando herramientas tales como suficientemente rápido crecimiento de la secuencia, una concavidad de la función que tiende a infinito más lentamente que cualquier poder, una inyección de finito de conjuntos de racionales a los números enteros positivos, etc., donde las propiedades que usted necesita puede lograrse razonablemente simple, pero no canónicamente, y la combinación de los diferentes elementos se ve mejor, no como un simple ejemplo, pero como una técnica para la construcción de ejemplos, donde los detalles precisos de la aplicación claramente no importa.

Estoy haciendo un poco más fuerte que el punto de que puede ser inmediatamente evidente, que es que para algunas de estas extrañas de Banach-propiedades del espacio (un famoso ejemplo es la propiedad de que no contengan $c_0$ o cualquier $\ell_p$ espacio, que fue mostrado por primera vez a ser posible por la Tsirelson), no sólo hay una considerable flexibilidad en la forma de construir contraejemplos, pero parece que esta flexibilidad es, en cierto sentido, "es necesario". Una manera de hacer que la afirmación semi-preciso es decir que no parece ser adicional (sensible) propiedades usted puede insistir en que la causa de la flexibilidad para ir lejos.

No estoy diciendo que la Reflexión es definitivamente falso para este tipo de bienes, pero sí parece ser, y no veo ninguna razón para suponer que sería cierto.

Answer 3

Si entiendo correctamente lo que significa "Uniformidad", entonces creo que el principio de universalidad en mecánica estadística, teoría de percolación y áreas relacionadas es un ejemplo.

Answer 4

En la geometría algebraica, yo diría que la contraparte de la "reflexión" el principio es el Lefschetz principio, tal como se discutió en la anterior MathOverflow pregunta: si algo es solucionable en un "grande" de campo, entonces también es solucionable en un "pequeño" campo.

Como para el de maximizar el principio de la geometría algebraica, tal vez Ravi Vakil de la "ley de Murphy en la geometría algebraica", que califica.

Answer 5

En teoría de números, yo diría que la contraparte de la "Maximizar" el principio es el "Local a lo global "principio": si no hay obstrucción local a la solvencia de algún número de la teoría de problema (por ejemplo, la resolución de una ecuación de Diophantine), entonces no hay ninguna global obstrucción de cualquiera. En el caso de Diophantine ecuaciones, esto se convierte en el principio de Hasse. En el caso de los patrones en los números primos, esto nos lleva al primer tuplas conjetura y sus generalizaciones. Y así sucesivamente. (Pero tenga en cuenta que este principio falla a veces, debido a la no-obvio algebraicas estructura más allá de la obvia "local" ones.)

EDIT: La de Riemann zeta función (y otros L-funciones) también presentan el "maximizar" el principio, un fenómeno conocido como zeta función de la universalidad. (Pero bien puede ser que caprichosa identidad falla; como se señaló en los comentarios de abajo, Selberg conjeturó que el estándar de axiomas como el de Euler producto, a continuación analítica, funcional de la ecuación, y la conjetura de Ramanujan de mayo, cuando se combinan, ser sólo lo suficientemente fuerte para describir la clase de todos los conocidos L-funciones sin introducir ninguna realmente exótico, y en particular, evitando la artificial ejemplos de "falso" L-funciones que hacen cosas malas como violar RH).)