Zev, cuando $[K:{\mathbf Q}] > 2$, encontrando todas las $\alpha$ cuales son el anillo de los generadores de ${\mathcal O}_K$ es un problema difícil en general: hay sólo un número finito de opciones del modulo de la obvia condición de que si
$\alpha$ obras, también lo $a + \alpha$ para cualquier entero $a$. En otras palabras, hasta la adición de un número entero de que hay sólo un número finito de opciones posibles-que podría, por supuesto, significa que no hay opciones.
Aquí es un buen ejemplo: ¿cuáles son los posibles anillo de generadores para los enteros de ${\mathbf Q}(\sqrt[3]{2})$? Sabemos que una base para el anillo de enteros es $1, \sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{4}$, por lo que un anillo generador de más de $\mathbf Z$ sería, hasta la suma de un número entero, tienen la forma $\alpha_{x,y} = x\sqrt[3]{2} + y\sqrt[3]{4}$ para algunos enteros $x$ e $y$ que no son ambos 0. El índice del anillo de ${\mathbf Z}[\alpha_{x,y}]$ completo en el anillo de enteros es el valor absoluto del determinante de la matriz que expresan $1, \alpha_{x,y}, \alpha_{x,y}^2$ en términos de $1, \sqrt[3]{2},\sqrt[3]{4}$, y después de un cálculo que resulta ser $|x^3 - 2y^3|$. Queremos que este sea 1 con el fin de tener un anillo generador, lo que significa que tenemos que encontrar todas las soluciones integrales para la ecuación de $x^3 - 2y^3 = \pm 1$. Bueno, eso es bastante famoso ejemplo de una ecuación con sólo un número finito de soluciones integrales. Hasta firmar las únicas soluciones son $(1,0)$ e $(1,1)$, lo $\alpha_{x,y}$ es $\sqrt[3]{2}$ o $\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ a firmar (y, a continuación, además de por un número entero).
He aquí una más general cúbicos ejercicio, para poner el ejemplo anterior perspectiva en algunos (entre los ejemplos concretos). Deje ${\mathbf Q}(\alpha)$ ser un cúbicos de campo donde $\alpha^3 + b\alpha + c = 0$ para los números enteros $b$ e $c$.
a) por $x, y \in {\mathbf Z}$ no 0 a la que $[{\mathbf Z}[\alpha]:{\mathbf Z}[x\alpha + y\alpha^2]] = |x^3 + bxy^2 + cy^3|$. Por lo tanto, si $1,\alpha,\alpha^2$ es conocido por ser un ${\mathbf Z}$-base de el anillo de los enteros, la búsqueda de todas las otras mesas de los generadores, además de $\alpha$, hasta la suma de números enteros, las cantidades a la solución de $x^3 + bxy^2 + cy^3 = \pm 1$ en números enteros.
b) es natural suponer que si $\alpha^3 + a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ e $x, y \in {\mathbf Z}$ no son ambos 0 el índice de
$[{\mathbf Z}[\alpha]:{\mathbf Z}[x\alpha + y\alpha^2]]$ debe $|x^3 + ax^2y + bxy^2 + cy^3|$. Decidir si es natural, supongo que es correcto!
En general, la búsqueda de todas las posibles anillo de generadores (modulo suma de un entero) para el anillo de los números enteros en un campo de número de cantidades a resolver algunos norma-forma de la ecuación igual a $\pm 1$, y más allá de la cuadrática caso que tipo de ecuación se tiene sólo un número finito de soluciones integrales. Un lugar para buscar mayor discusión Narkiewicz masiva de tomé en la teoría algebraica de números: p 64--65 y especialmente p. 80. Resulta que la cuestión de la finitud en el número de posibles anillo de generadores de hasta la suma de un número entero se remonta a Nagell. El caso general fue resuelto por la Gyory en 1973; ver MathSciNet MR0437489.
De hecho, hay un libro entero sobre este tema: Diophantine Ecuaciones y el Poder Integral de las Bases por István Gaál, Birkhauser, 2002.
Actualización en 2018: a la dirección de su pregunta sobre la búsqueda de un anillo de enteros necesidad de muchos generadores como un $\mathbf Z$-álgebra (no sólo como un $\mathbf Z$-módulo), ver mi respuesta en Explícito de la familia de número de anillos de $\mathcal{O}_{K_n}$ que requieren $n$ generadores?.
