¿Cuándo es un submanifold de$\mathbf R^n$ dado por ecuaciones globales?

Question

Deje $M \subset \mathbf R^n$ ser un (suave) submanifold de dimensión $d$. Las condiciones en las que no existen global de ecuaciones de definición de $M$? Por ecuaciones globales quiero decir : ¿existe una función suave $f: \mathbf R^n \to \mathbf R^{n-d}$, submersive en cada punto de $M$ que $M=f^{-1}(0)$.

Por supuesto, hay dos condiciones necesarias: 1) $M$ debe ser un subconjunto cerrado de $\mathbf R ^n$. 2) El paquete normal de $M$ en $\mathbf R^n$ debe ser trivial.

En primer lugar, me habría imaginado que estas condiciones son suficientes, pero no puedo demostrarlo.

He respuestas parciales, sin embargo.

1)La primera cosa natural a hacer es tomar un tubular de vecindad $U$ de % de $M$ en $\mathbf R^n$. La identificación de $U \simeq M \times \mathbf R^{n-d}$ permite definir una función de $f : U \to \mathbf R^{n-d}$ que tiene las propiedades requeridas. Pero no me queda claro si $f$ puede ser extendido a toda la $\mathbf R^n$.

2) Hay una manera de dar una respuesta si cambiamos un poco el problema: la Pontryagin-Thom construcción da una función de $f: \mathbf R^n \to \widehat{\mathbf R^{n-d}} \simeq \mathrm S^{n-d}$ por el envío de todos los puntos fuera de un tubular de vecindad en el infinito. Esto significa que esta es la buena formulación del problema, pero todavía estoy curioso acerca de la original.

3) Si $M$ ha codimension $1$, entonces la función de $f$ definido en un tubular de vecindad $U$ de % de $M$ como en 1) en realidad puede ser extendido a $\mathbf R ^n$ por una función constante (usando el hecho de que el complemento de $M$ tiene dos componentes conectados).

Answer 1

No pienso que hay otras obstrucciones. He aquí por qué.

Deje $f : \mathbb R^n \to S^k$ ser suave con $p \in S^k$ regular valor, y $M=f^{-1}(p)$. Usted obtener este mapa a partir de sus condiciones (1) y (2) + el Pontriagin de la construcción.

Entonces

$$ g : \mathbb R^n \times \mathbb R \to \mathbb R^{k+1}$$

dado por $g(v,t) = e^tf(v)$ es suave, ha $p$ también como un valor, y $M=g^{-1}(p)$.

Estoy usando la convención de que las $S^k$ es la unidad de la esfera en $\mathbb R^{k+1}$.

Si no estás contento incluyendo $M$ a $\mathbb R^{n+1}$ de arriba, a continuación, el argumento original es todo lo que tengo. Es decir, $M$ es la pre-imagen de regular el valor de una función suave $f : \mathbb R^n \to \mathbb R^k$ si y sólo si sus condiciones (1), (2) y, además, que la complementan $W$ de un tubular abierta barrio de $M$ en $\mathbb R^n$ tiene esta propiedad: unidad de esferas (de las normales de paquete de $M$ en $\mathbb R^n$) se retrae de $W$. Sospecho que esto es no trivial de la restricción a tu pregunta original, pero no he encontrado un ejemplo concreto.

Answer 2

Tengo dos comentarios que no caben en el campo de comentarios así que voy a postear esto como una respuesta.

1. Como Ryan Budney mencionado anteriormente, el problema se convierte en trivial si queremos componer el original de la incrustación de $M^d\to \mathbb R^n$ con la inclusión canónica $\mathbb R^n\times\{0\}\subset \mathbb R^{n+1}$. Que significa, en particular, que en el rango estable (al $n>2d+1$) no hay obstrucciones, porque en ese rango de cualquiera de los dos incrustaciones de $M\to \mathbb R^n$ son ambiently isotópica de modo que si el problema es solucionable por uno, a continuación, también para los otros. Desde $n>2d+1$ siempre podemos isótopo original nuestra integración en $\mathbb R^{n-1}\times \{0\}\subset \mathbb R^n$ y la demanda de la siguiente manera.

2. Al $k=n-d-1$ es impar, a continuación, $S^k$ es un Eilenberg-Maclane espacio de más de $\mathbb Q$, lo que significa que racionalmente exactamente el mismo argumento que trabajó para $k=1$ también trabaja aquí. Elaborar además, dado que es una banalización de la normal bundle tenemos un tubular vecindario $U\cong D^{k+1}\times M$ y tenemos una obvia mapa de $f: U\to D^{k+1}$ dado por la proyección sobre el segundo factor. En el límite de $U$ el mapa toma valores en $S^k$ y queremos ampliarlo a un mapa de $W=\mathbb R^n\backslash U$ a $S^k$. Desde $S^k$ racionalmente es equivalente a $K(\mathbb Q,k)$, racionalmente el homotopy tipo de $f|_{\partial U}$ está determinado por $f^*([S^k]) \in H^*(\partial U, \mathbb Q)$, y la pregunta se convierte en si o no esta clase en la imagen de $i^*:H^k(W,\mathbb Q)\to H^k(\partial W\cong M\times S^k,\mathbb Q)$. Por Alexander dualidad $H_k(W,\mathbb Q)$ es isomorfo a $H^d(M,\mathbb Q)\cong \mathbb Q)$ con el generador dado por $i_*([S^k])$ donde $S^k$ es el normal $S^k$ en $\partial W\cong S^k\times M$. Deje $\alpha\in H^k(W,\mathbb Q)$ ser el doble generador de a $i_*([S^k])$. Ahora, a priori, el original de la trivialización puede haber sido mal por lo que $i^*(\alpha)$ no es igual a $f^*([S^k])$ si $H^k(M)\ne 0$. Sin embargo, desde la evaluación map $SO(k+1) \to S^k$ es un racional isomorfismo en $H^k$ podemos modificar el original de la trivialización de un mapa de $M\to SO(k+1)$ que hace a $i^*(\alpha)=f^*([S^k])$ lo que significa que el mapa se extiende. Lo que esto significa es que lo que sea (si alguno) se presentan obstáculos en este caso todos ellos son de torsión.

Al $k=1$ entonces $S^1$ es ya una $K(\mathbb Z,1)$ espacio y el anterior funciona en la nariz sin tensoring con $\mathbb Q$ como Ryan mencionado en un comentario anterior.

Me acabo de dar cuenta que algori la respuesta puede no ser la correcta. Su(de ella?) la idea era que si escribimos $M$ as$(f_1,\ldots, f_{k})=0$, a continuación, después de una pequeña perturbación podemos asumir que $0$ sigue siendo el valor de $(f_1,\ldots, f_{k-1})=0$ y, por tanto, $M$ marco de los límites en $N=(f_1,\ldots, f_{k-1})=0$ debido a que claramente separa a $N$. Sin embargo, este argumento no funciona porque el conjunto de nivel de $(f_1,\ldots, f_{k-1})=0$ podría no ser compacto, por el hecho de que $M$ separa no implica que se cobordant a cero. Esto no es un falso problema ya que de lo contrario por Ryan observación anterior implicaría que cada enmarcada cobordance clase es estable trivial que es conocido por no ser el caso.

También, como lo que puedo decir que el efecto del cambio de la trivialización por un mapa de $M\to SO(n-d)$ cambios del marco de la cobordance clase por algo en la imagen de la $J$-homomorphism $J\colon \pi_d(SO(n-d))\to \pi_n(S^{n-d})\cong\Omega^{fr}_d(\mathbb R^n)$.

Más explícitamente a mí me parece que funciona de la siguiente manera. Dado cualquier $\alpha\in \pi_d(SO(n-d))$ e $M^d$ como en el anterior, tener un grado de un mapa $f:M\to S^d$. Luego torcer a la trivialización por $\alpha\circ f:M\to SO(n-d)$ debería dar un nuevo enmarcada cobordism clase que es diferente a la original, por $J(\alpha)$. Esto debe ser muy bien conocido, estoy seguro de que así podría alguien la sabe por favor comente sobre esto?

Así que parece que el grupo $\pi_n(S^{n-d})/\mathrm{Im }(J)$ es relevante aquí, pero estoy teniendo problemas para fraseo nuestro obstrucción problema en cobordism términos. En particular, es claro que si tenemos dos cuadros cobordant colectores en $\mathbb R^n$, y uno puede ser dada por una sola ecuación, entonces también lo es el otro?

Answer 3

A mí me parece ahora que puede haber obstrucciones, después de todo. Aquí es una fuente potencial de contra-ejemplos.

Deje $M$ ser $d$-dimensional completa intersección en $\mathbb{R}^n$, es decir, $M$ es dado como el cero locus de $f_1,\ldots, f_k,k=n-d$ definida globalmente en $\mathbb{R}^n$ y los diferenciales de $f_i$'s son linealmente independientes en cada punto de $M$.

[upd 2: a Continuación, el paquete normal de $M$ está enmarcado. Vamos a mostrar que, a menos que $\dim M=0$, $M$ se enmarca cobordant a 0 de los límites de un submanifold de $\mathbb{R}^n$. Observe que cuando se $\dim M=0$, esto no es necesariamente así: tome por ejemplo, $M$ a un punto en $\mathbb{R}$.

Para cada uno de ellos fijo $d>0$ procedemos por inducción sobre $n\geq d+1$. El caso de $n=d+1$ (es decir, $M$ es una hipersuperficie) es clara. Supongamos $n>d+1$ e incrustar $\mathbb{R}^n$ en $S^n$ como el complemento de un punto, $\infty$. Tomar una función $\phi:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ que es igual a 1 en algunos pelota que contiene $M$ y disminuye suficientemente rápido en el infinito, de modo que podemos ampliar las funciones de $g_i=\phi f_i$ a $S^n$ mediante el establecimiento $g_i(\infty)=0$. Deje $\bar g_i,i=1,\ldots,k$ ser una ligera perturbación de la $g_i$ tal que

1. tanto en $\bar g_1=\cdots=\bar g_{k}=0$ e $\bar g_1=\cdots=\bar g_{k-1}=0$ definir suave completar las intersecciones; denotar a estos como $M'$ e $N$ respectivamente;

2. los componentes de $M'$ se $M$ y, posiblemente, algunos submanifolds de un pequeño $n$-ball $U$ tal que $\infty\in U$ e $M\cap \bar U=\varnothing$;

3. $N$ intersecta $S=\partial \bar U$ transversalmente.

A continuación, $M$ está enmarcada cobordant a $N\cap S$. Un cobordism puede ser obtenida por la toma de $N_+=\{x\in N\mid \bar g_k(x)\geq 0\}$ y la intersección con el exterior de $U$. Ahora, $N\cap S$ es un buen completa intersección de la dimensión $d$ en $\mathbb{R}^{n-1}$, y por lo tanto se enmarca cobordant a 0 de los límites de un submanifold de $S$ por la hipótesis de inducción.]

Así que si nos encontramos con un colector $M\subset \mathbb{R}^n$ con trivial normal paquete pero que no la elaboración de este paquete hace $M$ enmarcado cobordant a 0 que no enlazado cualquier colector en $\mathbb{R}^n$, tenemos un contra-ejemplo. El Pontrjagin-Thom construcción da un isomorpfhism $$\Omega^{fr}_{d}(\mathbb{R}^{n})\cong \pi_{n}(S^{n-d}).$$

Cada elección de un encuadre $f$ de la normal, paquete de $M$ da algún elemento de $\pi_{n}(S^{n-d})$. Lo que no está claro (para mí) es cómo este elemento cambios al $M$ es fijo e $f$ varía bajo la acción del grupo gauge $Map(M,O(n-d))$.

Observación: a partir de Ryan respuesta se deduce que, si hay contraejemplos, a continuación, los elementos correspondientes de $\pi_{n}(S^{n-d})$ son asesinados por la suspensión de mapa de $\pi_{n}(S^{n-d})\to \pi_{n+1}(S^{n+1-d})$ después de un cambio de estructura. A partir de las tablas de la homotopy grupos hay un montón de elementos asesinado por la suspensión de los mapas, pero no sé cómo describir de forma explícita.

En el lado positivo: si uno toma cualquier encuadre de la normal de paquete y se dobla $M$ mediante una de las secciones, de ellos el resultado "dos copias" de $M$ puede ser dada por ecuaciones globales.