En una carta a Gauss, el 3 de enero de 1840 (Werke II), Dirichlet enunció el teorema de la unidad en la misma versión en que lo publicaría posteriormente, junto con el comentario de que la demostración era muy fácil y podía darse en dos o tres páginas. De hecho, la prueba que publicó en 1846 tenía poco más de dos páginas. Además, la versión francesa de su prueba estaba contenida en una carta a Liouville, y fue publicada ya en 1840. Creo que esto demuestra de forma convincente [Ver la edición a continuación] que el problema que resolvió en la Capilla Sixtina en 1844 no estaba relacionado con el teorema de la unidad.
Por otra parte, Kummer, en su discurso a la memoria de Dirichlet, dijo que Dirichlet elaboró las fórmulas del número de clase para las clases de equivalencia de las formas correspondientes a los campos de las raíces p-ésimas de la unidad mientras estaba en Italia; de hecho, sus artículos sobre las unidades que Dirichlet publicó antes de su viaje a Italia están directamente relacionados con los problemas que aparecen en dicha investigación. Cuando Dirichlet se enteró de que Kummer también estaba elaborando las fórmulas del número de clase para tales campos, decidió no publicar nada sobre este tema.
Editar. Me gustaría añadir algunas citas de los trabajos de Kummer sobre los resultados de Dirichlet obtenidos en Italia.
- 1844, De numeris complexis.
Para la mayoría de los números $\lambda$ La investigación de todas las unidades es muy difícil y requiere principios particulares, que hasta ahora no hemos examinado suficientemente. Sin embargo, podemos omitir esta cuestión, ya que hemos oído que recientemente Lejeune-Dirichlet, en Italia, donde aún reside, ha elaborado teoremas fundamentales sobre estas unidades complejas que esperamos ansiosamente que publique pronto.
- 1846, Sobre la teoría de los números
p. 324: Esta investigación sobre los números complejos reales e ideales es completamente idéntica a la clasificación de ciertas formas afines de grado $\lambda-1$ en $\lambda-1$ variables, de las que Dirichlet ha encontrado pero no ha publicado aún los principales resultados.
p. 325: Hasta ahora no he estudiado esta área de la teoría de los números complejos en profundidad; en particular, aún no he trabajado en la determinación del verdadero número de clases, ya que he oído de palabra que Dirichlet, utilizando principios similares a los de sus famosas memorias sobre las formas cuadráticas, ya ha encontrado este número.
- 1846, Descomposición de las raíces de la unidad:
La determinación completa de las potencias de los números ideales que se convierten en reales, así como la determinación del número de números ideales no equivalentes, requiere principios que difieren esencialmente de los que se dan en la presente memoria. No discutimos más esta importante cuestión ya que, como hemos mencionado, es inminente la publicación de un artículo de Dirichlet en el que ha resuelto completamente esta cuestión para un tema estrechamente relacionado.
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- Demostración del teorema de Fermat
Supongamos que (A) el número de clase de $K = {\mathbb Q}(\zeta_p)$ no es divisible por $p$ y (B) que cada unidad de $K$ que es congruente con un entero racional entero racional módulo $p$ es en realidad un $p$ -enfermedad en $K$ . Entonces la ecuación $x^p + y^p = z^p$ no tiene soluciones no triviales en números enteros.
Este artículo fue presentado a la Academia de Berlín por Dirichlet, quien añadió la siguiente observación.
La verdad de la segunda suposición de la astuta prueba de Kummer puede ser verificada para cada valor dado de $p$ utilizando la teoría general de unidades complejas, sobre las que he dado algunas pistas en el informe de marzo de 1846 y que se publicará en uno de los próximos volúmenes de la revista de Crelle.
Después de haber demostrado que cada unidad puede ser representada por $\frac{\lambda-3}2$ unidades fundamentales, que es el resultado análogo a la solución general de la ecuación de Fermat $x^2 - Dy^2 = \pm 1$ era natural seguir esta analogía esta analogía entre las formas cuadráticas y estas formas superiores, determinando el número de estas últimas formas por métodos similares a aquellos con los que la misma cuestión en la teoría de las formas cuadráticas. Esta investigación, a la que Kummer se refirió al principio de su nota fue afortunadamente completada hace tres años con la ayuda de un nuevo principio que no era necesario para determinar el número de formas del segundo grado, y ha conducido a un resultado que es notable en su forma y que es tan sencillo como cabe esperar para un resultado que que engloba las formas de todos los grados. La expresión para el número de formas de grado $\lambda-1$ que he encontrado, que, como puede esperarse por la analogía con las formas cuadráticas, contiene la $\frac{\lambda-3}2$ unidades fundamentales, nos proporciona, en cuanto se conocen estas unidades, un método para verificar la hipótesis (A) mediante un cálculo numérico bastante sencillo. un método para verificar la hipótesis (A) mediante un cálculo numérico bastante sencillo.
Editar (Oct. 2016) Me retracto de mi análisis anterior y afirmo lo contrario: Dirichlet efectivamente elaboró el teorema general de la unidad durante su estancia en Italia. En el prefacio del vol. I de las Obras Completas de Dirichlet, Kronecker escribe
" Dirichlet leyó estas memorias un año después de su regreso de Italia, pero el investigaciones fundamentales y de gran alcance sobre las que hizo algunas que hizo algunas observaciones, ya las había completado -como he sabido por él mismo- durante su estancia en Italia. durante su estancia en Italia ."
Y en el artículo de Dirichlet "Sobre la teoría de las unidades", el último del vol. I de sus Obras Completas, escribe
" Para los grados posteriores al segundo, este teorema podría demostrarse sin de los grados posteriores al segundo, este teorema pudo demostrarse sin grandes problemas. grado en una comunicación anterior (Monatsbericht de octubre de 1841) hace varios años. La demostración del teorema en toda su generalidad, que que hemos encontrado por inducción, fue obstruida por las mayores dificultades que sólo pudieron ser superadas completamente después de muchos intentos infructuosos. La continua ocupación con este problema me permitió entonces simplificar la de simplificar la prueba hasta el punto de que sus momentos principales pueden ser comprensibles en pocas palabras. "
Lo que sigue es una descripción de cómo construir el número correcto de soluciones independientes de la ecuación unitaria, y parece que lo que se le había escapado en sus primeras investigaciones es el papel que juega el regulador en esta construcción. En sus primeros artículos Dirichlet anunciaba el teorema general de la unidad, pero daba detalles de la demostración sólo para extensiones cúbicas sin decir claramente que no tenía una demostración en el caso general.
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Acabo de votar esta pregunta, pero quiero decir que no entiendo por qué es apropiado en MO cuando esta pregunta de qué-pruebas-dicen-los-historiadores-sobre-la-vida-de-un-gran-matemático se cerró en un segundo caliente: mathoverflow.net/questions/66526/
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La pregunta referida se refiere a la vida no matemática de un matemático, esta pregunta se refiere a las circunstancias que rodean la demostración de un teorema significativo, por lo que esta pregunta es ciertamente MÁS apropiada.
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@David: Primero publiqué la pregunta en math.stackexchange ya que pensé que era un primer lugar más apropiado. No salió nada definitivo, así que después de una semana pensé que estaría bien probarlo aquí.
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Igor, mi pregunta era relevante para el intelectual de un matemático; de hecho, lo que realmente quería saber es si las creaciones musicales de Eisenstein parecen estar informadas de alguna manera por su mente matemática. Podría haber preguntado eso, pero saber si un solo ejemplo sobrevive me parecía más básico.
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Sólo un suave recordatorio: las discusiones meta van a meta y no a los comentarios, en particular si la discusión es sobre una pregunta otro que no sea el que tenemos entre manos.