Categoría pre triangulada que no está triangulada

Question

He estado trabajando a través de algunas de las primeras piezas de Neeman del libro en categorías trianguladas, y él menciona que él no sabe de un pre-nidos de la categoría que no es triangular. Es este sigue siendo una pregunta abierta? En realidad, déjenme ser un poco más específico y dividirla en dos partes:

1. La costumbre axiomas para un triangular categoría son conocidos por ser redundante. Qué sabemos de una lista independiente de los axiomas? (Pedro escribió algo acerca de esto, y es el mejor que he visto, pero todavía no le da la independencia resultados para la nueva lista de axiomas.)
2. Suponiendo que se sabe que, por ejemplo, la octaédrico axioma es independiente de las otras, lo que es un ejemplo de un pre-nidos de la categoría que no es un triangula categoría?

Parece que si hay un ejemplo, tendría que ser muy artificial... todos los de la pre-nidos de las categorías que aparecen en la naturaleza son automáticamente trianguladas. (No he leído todos los de Mayo del artículo, pero parece que se explica cómo uno va generalmente se trata de probar que la octaédrico axioma es para una categoría dada, así que tal vez esto podría dar algunas pistas para situaciones en las que este sería un fracaso.)

Answer 1

No sé si todavía estás interesado en esta cuestión, pero para cualquier persona que es curiosa, la respuesta parece ser que no hay pretriangulated categorías que no son trianguladas.

Macioca Pre-nidos categorías trianguladas. Desafortunadamente, el artículo se retira por el autor con el comentario: "Hay un grave error al final de la prueba de 3.4 que no puede ser fijado. No es un contraejemplo a la declaración de 3.4 debido a Canonaco y Kunzer. Lema 3.5 también de las necesidades más fuertes de la hipótesis."

Answer 2

Tengo que decir que este artículo http://arxiv.org/abs/1506.00887 tiene al menos un error.

Lema 3.5, contraejemplo: tome el grupo$G=$ secuencias de números enteros$=\mathbb{Z}^\mathbb{N}$.

$\ell$ y$m$ son desplazamiento derecho e izquierdo respectivamente.

Entonces $m\circ\ell=id$.

Answer 3

Sí, estoy a punto de publicar algunas correcciones. Mi interés en ella, era la k-caso lineal. De hecho, ese ejemplo no es un contraejemplo para el resultado principal, porque el mapa omega_* no puede ser una inyección (como el espectro de la secuencia implica que el núcleo y cokernel debe tanto no se desvanecen o ambos desaparecen). Sin embargo,en la sustitución del Lema 3.5 necesito una suposición sobre el enriquecimiento de uranio. Esto significa que el resultado es aún abierto por el caso general. Parece que funciona para k-lineal, divisible, finitely generado y, como co-finitely generado (es decir, los duales de finitely grupos generados). Los supuestos no son susceptibles de ser necesario y aunque yo esperaría que alguien mejor equipados para lidiar con el infinito del grupo caso, podría ser capaz de arreglarlo.

Hay un par de otros errores de bulto en la final. En particular, hay algún error en la singularidad resultado. Me he quitado en el ínterin.

Voy a publicar las revisiones en arxiv en un día o así. Antony Maciocia

Answer 4

Creo que no existe algunos pretriangulated categorías que no son trianguladas. Existen al menos dos métodos para producir tales ejemplos, aunque no tengo ningún ejemplo concreto.

La primera es algebraico. Deje $\mathcal{A}$ ser un abelian categoría, $\mathcal{B}$ un functorially finito subcategoría. A continuación, el cociente de la categoría $\mathcal{A}/\mathcal{B}$ es un pretriangulated categoría, pero generalmente no es triangular.

La segunda es topológico. Tomar un Quillen modelo de la categoría, que también es un aditivo de la categoría, pero que no es un modelo estable de la categoría. A continuación, el homotopy categoría de este modelo se trata de una categoría pretriangualted categoría que no es triangular.