Esta no es una muy típico MO pregunta, pero espero que tengan paciencia conmigo. Se trata de un reciente desacuerdo en la biología de la literatura acerca de cómo muchos olores diferentes de los seres humanos puede discriminar. Los autores de un artículo en Science de Marzo de 2014, afirmó que, con base en sus experimentos, "los seres humanos pueden discriminar más de 1 billón de estímulos olfativos," un número que pone a nuestros otros sentidos a la vergüenza. Una reciente crítica de la Ciencia de papel, publicado en arXiv, toman la cuestión con la forma en que la Ciencia de los autores interpretan sus datos, y afirma que incluso un número tan pequeño como meramente 10 distinguible de los estímulos es consistente con los datos. Por lo que puedo decir, el desacuerdo se reduce a una muy clara diferencia en supuestos, que voy a tratar de explicar de un modo simplificado, que probablemente se pierde mucho más de los detalles de último minuto, pero esperemos que da una buena idea de la matemática de la pregunta que está en juego.
La Ciencia de los autores dan un objeto de tres viales olor. Cada vial contiene una al azar, igualdad de partes de la mezcla de 30 compuestos de un repertorio de 128 compuestos. Dos de los frascos tienen las mismas mezclas, y se pide al sujeto que elija el extraño vial. Pensar de cada mezcla binaria de vectores $\mathbf{x}\in X=\{0,1\}^{128}$ de Hamming de peso 30. Los autores estiman una crítica de la distancia de Hamming $D$ en la que el 50% de la mezcla de pares en esta distancia se distinguible. No muchas pruebas se deben ejecutar para obtener una buena estimación de $D$.
Pensar de cada distinguible "olor" como un conjunto $S\subset X$, y suponga que la mezcla de espacio es completamente dividido en $N$ olores $S_1,\ldots,S_N$. La mezcla de $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ puede distinguirse por un objeto si y sólo si no están en el mismo olor $S$. La tarea principal es la de inferir un valor probable de $N$. Si los olores son todos más o menos de Hamming bolas de igual radio, podemos obtener directamente el radio de la distancia crítica $D$, desde el radio obtenemos el volumen de la pelota, y obtenemos $N\approx|X|/|S|$. Este análisis parece dar una estimación de $N>10^{12}$.
La crítica señala que no hay ninguna razón para suponer que los olores son aproximadamente esféricas en la ausencia de un detallado conocimiento mecanicista sobre el sistema olfativo, que parece que no tenemos. Una sección interesante de la crítica muestra que un análisis similar se aplica a un hipotético experimento utilizando estímulos de color de los rendimientos de falta de sentido de los resultados. En la visión de los colores, se sabe que la si $X$ es un binario espacio vectorial que describe las mezclas de espectros ópticos, entonces sólo la proyección de $\mathbf{x}$ en un verdadero espacio tridimensional puede ser detectada, $(s,m,l)(\mathbf{x}) = \sum_i x_i (s_i,m_i,l_i)$. Por lo tanto, los colores están muy lejos de las esferas en $X$; son más como preimages de bolas en virtud de esta proyección. Evidentemente, para que este tipo de altamente anisotrópico forma, la misma distancia crítica $D$ corresponde a un volumen mucho mayor. No sé lo suficiente acerca de la biología para saber si es razonable esperar que algo similar podría suceder en el sistema olfativo, pero la crítica señala que cuando se permite para nonspherical formas, el mismo valor de $D$ es coherente con muchos-del orden de magnitudes mayores olores. Una construcción determinada, incluso, se obtiene un número $N=10$ como ser consistente con los datos.
Ahora, ignorando la biología, la medición de $D$ es claramente una mala manera de restringir $N$, desde un valor de $D$ es aparentemente coherente con la $N>10^{12}$ e $N=10$. La pregunta que tengo para el MO multitud es ¿qué cantidad adicional, preferiblemente que se pueden obtener de la misma especie de extraño-vial-pruebas (tal vez incluso extracción a partir de los datos existentes), en realidad se puede restringir $N$ a un rango razonable.
