Problemas abiertos en física matemática

Question

¿Cuáles son los buenos problemas aún no resueltos de la física matemática que están en boga? Siempre recibo las mismas respuestas: la referencia a los Problemas del Milenio del Instituto Clay, o "todavía hay mucho que hacer en esto o aquello..." o el problema de los tres cuerpos. ¿Podría ser más específico?

Answer 1

Podrías empezar con Michael Aizenman's lista de una docena de problemas específicos de diversas áreas de la física matemática. La lista tiene dos décadas de antigüedad, pero la mayoría de estos problemas siguen abiertos. Quince problemas del campo de los operadores de Schrödinger están en La lista de Barry Simon, (1984), con una más reciente actualización (2000).

Answer 2

En la estructura nuclear de baja energía, tenemos ciertas teorías que funcionan para ciertos tipos de núcleos, pero hay algunos núcleos, llamados núcleos de transición, para los que esencialmente no hay una descripción teórica manejable.

Podemos clasificar los núcleos a lo largo de una escala continua que va desde los esféricos hasta los deformados, pasando por los de transición. La ubicación de un núcleo en esta escala puede estimarse a partir del producto del número de neutrones y protones de valencia (contando un agujero como un número positivo). Cuando el producto es pequeño, el núcleo es esférico, cuando es grande, deformado.

El modelo de cáscara nuclear, desarrollado por Maria Goeppert Mayer en los años 50, funciona muy bien para los núcleos esféricos. Para los núcleos deformados también disponemos de buenos modelos, como el modelo de cáscara craneada con emparejamiento. Pero para el caso intermedio, los núcleos de transición, no hay básicamente nada.

Lo más parecido a una teoría de trabajo para los núcleos de transición es el modelo de bosones interactivos (IBM, también conocido como aproximación de bosones interactivos, IBA). Pero el IBM tiene muchos parámetros ajustables, especialmente para los núcleos impar e impar-impar, y nadie sabe cómo predecir estos parámetros a priori para un núcleo concreto, por lo que el valor predictivo del modelo es extremadamente limitado.

En términos más generales, este es un ejemplo del sistema cuántico de muchos cuerpos, donde necesitamos un esquema de aproximación eficaz. Es una situación impar, porque en realidad tenemos un esquema de aproximación efectivo cuando el número de cuerpos (partículas de valencia) es más grande pero ninguno para el caso de que sea intermedio. El estado de ignorancia es extremo, en el sentido de que no podemos predecir de forma fiable ni siquiera las propiedades más simples de los núcleos de transición, como la energía de excitación del primer estado 2+ en un núcleo par. Esperamos tener dificultades con los sistemas de muchos cuerpos, pero no ser tan completamente impotentes como esto. En una analogía clásica, sería como si no pudiéramos predecir el movimiento futuro de los planetas de nuestro sistema solar, incluso en escalas de tiempo de horas. Otra buena comparación es con la física atómica, donde existen esquemas de aproximación manejables que permiten predicciones extremadamente precisas, incluso para átomos muy grandes.

Sospecho que mucha gente con talento se vería disuadida de trabajar en este problema por la percepción errónea de que requeriría aprender un montón de detalles grotescos sobre las fuerzas nucleares. De hecho, todos los fenómenos físicos que son relevantes para este problema son fenómenos genéricos para sistemas de fermiones que interactúan a través de una fuerza atractiva de corto alcance. Experimentalmente, vemos grupos de átomos que demuestran los mismos "números mágicos" (cierres de cáscara) que los grupos de neutrones y protones. Si pudieras avanzar en este problema para un modelo de juguete de fermiones idénticos que interactúan a través de un potencial de función delta, es casi seguro que tu trabajo sería inmediatamente generalizable a los núcleos.

Answer 3

En un Artículo sobre avisos El mes pasado, Charles Radin presentó algunos problemas abiertos para entender la mecánica estadística de la cristalización en un sistema de partículas con interacciones simples entre pares. Además de algunos problemas en los que los físicos saben qué respuesta se espera, pero falta una demostración matemática formal, Radin también da el siguiente problema como de verdadero interés para avanzar en la comprensión teórica de la cristalización:

Problema : Demuestre, en dos dimensiones, si existe o no alguna región de $(, )$ valores a lo largo de los cuales la forma óptima de Wulff $_(, )$ no es el círculo.

$P$ y $T$ son la presión y la temperatura respectivamente, y la forma de Wulff es el límite de la forma de equilibrio de una gota de $N$ partículas, escaladas por un factor de $N^{-1/d}$ en el límite $N\to\infty$ .

Answer 4

La mayoría de los Problemas del Milenio no son física matemática. Pero uno o dos sí lo son. ¿Quiere que sean específicos? Aquí tienes:

Demuestre o dé un contraejemplo de la siguiente afirmación: En tres dimensiones espaciales y temporales, dado un campo de velocidad inicial, existe un campo de velocidad vectorial y un campo de presión escalar, ambos suaves y definidos globalmente, que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes.

fuente

Answer 5

A continuación se presentan varios problemas abiertos (a partir de 2001, pero la mayoría siguen abiertos, creo) en la dinámica de fluidos topológica de Moffatt :

Algunas observaciones sobre la mecánica de fluidos topológica