¿Hay una función zeta "cuántica" de Riemann?

Question

De vez en cuando me encuentro en una situación en la que un cálculo ingenuo y no riguroso me lleva a una suma divergente, como $ \sum_ {n=1}^ \infty n$ . En tiempos como estos, un enfoque estándar es adivinar la respuesta correcta asumiendo que secretamente mis manipulaciones no rigurosas estaban realmente manipulando la función zeta de Riemann $ \zeta (s) = \sum_ {n=1}^ \infty n^{-s}$ y sus primos. Entonces es razonable suponer que la respuesta "correcta" es, por ejemplo, $ \sum_ {n=1}^ \infty n = \zeta (-1) = - \frac1 {12}$ . Así, la función zeta y sus primos son una herramienta valiosa para la resolución de otros problemas no numéricos: siempre es más fácil probar rigurosamente que tu suposición es correcta (o descubrir, al intentar probarla, que está equivocada) que derivar rigurosamente una respuesta desde cero.

Recientemente me encontré deseando poder hacer algo similar por la suma de los quantum números enteros. Recordemos que en el parámetro cuántico $q = e^{i \hbar }$ , quantum $n$ es el número complejo $$[n]_q = \frac {q^n - q^{-n}}{q - q^{-1}} = q^{n-1} + q^{n-3} + \dots + q^{3-n} + q^{1-n}.$$ El punto es que $[n]_1 = n$ .

Pregunta: ¿Existen métodos establecidos para sumar las series divergentes $ \sum_ {n=1}^ \infty [n]_q $ y sus primos? Por ejemplo, ¿hay alguna función de buen comportamiento $ \zeta_q (s)$ para el cual la serie es naturalmente la $s=-1$ ¿Valor?

Tenga en cuenta que cuando $n$ es una raíz de la unidad, la serie se trunca, y sería bueno (pero tal vez demasiado esperanzador) que la serie regularizada coincidiera con la serie truncada en estos valores.

Debo mencionar también que considero la siguiente respuesta tentadora pero inexacta, ya que definitivamente no funciona en las raíces de la unidad, lo cual me preocupa:

$$ \sum_ {n=1}^ \infty [n]_q = \frac1 {q-q^{-1}} \sum_ {n=1}^ \infty (q^n - q^{-n}) = \frac1 {q-q^{-1}} \left ( \sum_ {n=1}^ \infty q^n - \sum_ {n=1}^ \infty q^{-n} \right ) = $$ $$ = \frac1 {q-q^{-1}} \left ( \frac {q}{1-q} - \frac {q^{-1}}{1-q^{-1}} \right ) = \frac {q+1}{(q-q^{-1})(q-1)}$$

Answer 1

El artículo de Cherednik En los análisis q de la función zeta de Riemann da precisamente la definición que buscas: $$ \zeta_q (s)= \sum\limits_ {n=1}^ \infty q^{sn}/[n]_q^s $$ Su documento también contiene una breve discusión de las propiedades de este $q$ -función de zeta. Por otro lado, el término función cuántica zeta parece tener un significado algo diferente, véase, por ejemplo, el documento En la función cuántica zeta por R.E. Crandall.

Answer 2

He aquí otro artículo que trata de funciones similares:

q-análogo de la función ζ de Riemann y los números de q-Euler. por Junya Satoh.

También hay muchos artículos de Taekyun Kim sobre funciones relacionadas.

Un punto clave es que el valor de la función $ \zeta_q $ en números enteros negativos es una fracción que no tiene límite cuando $q$ va a $1$ . Se puede obtener una relación con el $q$ -Números de Bernoulli introducidos por Carlitz en 1948, tomando una diferencia con el valor de un $ \zeta_q $ función.