Filosóficamente, ¿por qué probar que$\gamma$ es irracional (y mucho menos trascendental) es mucho más difícil que demostrar que$\pi$ o$e$ son irracionales?
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Dean Hill
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2006
Filosóficamente, no es esencialmente sólo una manera de demostrar que un número es irracional/trascendental, que es utilizar el hecho de que no hay ningún número entero entre 0 y 1. Es decir, se asume que el número en cuestión es racional/algebraicas, y construye una cierta cantidad, que puede ser demostrado ser apartó de 0, menos de 1, y también un número entero. Para obtener estas estimaciones, uno normalmente se necesita algo de rápida convergencia de la serie de expansión que está estrechamente relacionado con el número de su interés. Por ejemplo, la razón por la que la transformada de Fourier de la prueba de que $e$ es irracional es tan simple, es que tenemos un ready-made rápida convergencia de la serie de $\sum 1/n!$ para $e$ que nos permite construir un entero entre 0 y 1 a partir de la suposición de que $e$ es racional. Como de números como $\pi$ o $e^\pi$, básicamente a cuestas en la rápida convergencia de la serie de $\exp z = \sum z^n/n!$ porque $\exp(i\pi) = -1$.
En general, lo que es menos obvio es cómo se relacionan con su número a una rápida convergencia de la serie, más difícil va a ser para demostrar la irracionalidad/trascendencia. Apéry dramático de éxito con $\zeta(3)$ fue basado en el no-obvio rápida convergencia de la serie de la representación $$ \zeta(3) = \frac{5}{2} \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n^3\binom{2n}{n}}. $$ Pero $\zeta(5)$ no produce exactamente el mismo método, porque hay amplia evidencia numérica que la obvia análogo de la serie que usted conjetura de que después de ver la anterior identidad no existe. Posteriores avances en $\zeta(2n+1)$, sobre todo por Rivoal y Zudilin, se basa en tomar varias sutiles combinaciones lineales de ellos para finalmente deducir la inexistente entero entre 0 y 1, y tan sólo son capaces de demostrar que al menos uno de un conjunto de valores zeta es irracional.
Así que podría haber otra prueba de que Euler perdidas por ahí, basado en la primaria, pero no evidente de la identidad de $\gamma$ que tiene las propiedades adecuadas para la costumbre de maquinaria para moler a través de? Tal vez, pero en la actualidad no existe un método a la vista para relacionar $\gamma$ en el camino correcto para un adecuado rápida convergencia de la serie. Si te gusta, que es la "filosófica" razón por la que estamos atrapados.
Por cierto, recomiendo Hacer la Trascendencia Transparente por Burger y Tubbs, si desea un tratamiento accesible trascendental de la teoría de números. Hacen un excelente trabajo mostrando cómo las mismas ideas básicas son la base de todos los resultados en el área, mientras que la introducción de las complicaciones de la técnica de una en una en trozos digeribles.
Hay número de teóricos que entienden de este tema mucho mejor que yo. Sin embargo, me siento obligado a publicar una respuesta incompleta rápidamente antes de que la gente tenga una oportunidad de acercarse a esta pregunta.
Hay muchas más conexiones conocidas entre el $\pi$ e $e$ y otros números de entre $\gamma$ y otros números. Podemos obtener pruebas de su irracionalidad mediante el uso de algunas de estas conexiones, tales como la continuidad de la fracción de expansiones para ambos.
$\gamma$ puede ser pensado como un normaliza la versión de $\zeta(1)$ donde $\zeta$ es la de Riemann zeta función de $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty n^{-s}$.
$$\gamma = \lim_{s\to 1} \bigg(\zeta(s) - \frac{1}{s-1} \bigg)$$
En números enteros, $\zeta(s)$ puede escribirse como una suma de más de un valor distinto de cero enteros, no sólo los enteros positivos. Esa es una explicación de por qué es más fácil conseguir una manija en $\zeta(s)$ a, incluso sus valores (de donde es racional veces $\pi^s$) que en positivo impar de valores enteros. Ver las respuestas para "el Establecimiento de zeta(3) como una integral definida y su cálculo."
Hay algo de esperanza. Apéry demostrado que $\zeta(3)$ es irracional, y esto puede estar relacionado con las pruebas de que otros bien conocidos son los números irracionales. Hay expresiones para $\pi$, $\log 2$, $\zeta(3)$ como los períodos, las integrales definidas de funciones algebraicas en $[0,1]$. Estos pueden ser utilizados en una forma unificada para probar todas estas son irracionales (aunque todavía es difícil para $\zeta(3)$), y hay conjeturas sobre el posible racional o relaciones algebraicas entre los períodos. Sin embargo, hasta el momento, $\gamma$ no es conocido por ser un periodo, aunque es una exponencial período (como es $e$). No hay otros valores de $\zeta$ a los positivos números enteros impares son individualmente conocido por ser irracional.
