Motivando el elemento Casimir

Question

Weyl del teorema establece que cualquier finito-dimensional de la representación de un número finito de dimensiones de Lie semisimple el álgebra es completamente reducible. En mi mente, la forma "natural" para probar este resultado es una forma de Mentira grupos. Sin embargo, como estudiante, me encontró por primera vez el teorema de Weyl en el libro de texto por Humphreys, en el cual le da un carácter puramente algebraica de la prueba. Recuerdo encontrar esta prueba muy misterioso, y, en particular, parecía que Humphreys tiró de la Casimir elemento de un sombrero. Buscando en la prueba de nuevo ahora, y aún me parece algo misterioso, y si me tenía que presentar la prueba en un graduado de la clase, creo que no sería capaz de motivar muy bien.

¿Cómo se puede motivar esta puramente en la prueba de álgebra de Weyl del teorema?

Answer 1

Tal vez debería tratar de defenderme, o, al menos, el auto se me fue hace cuatro décadas cuando improvisaba mi postgrado de texto. Pero primero debo declinamos cualquier originalidad en la prueba de Weyl del teorema, que me sacó de Bourbaki (que no inventó él tampoco). Yo estaba en el momento en que lejos de ser un anti-Bourbaki persona y, de hecho, realmente asociado con algunos de ellos. Pero en mi limitada experiencia en la enseñanza de la vida real Estados Unidos los estudiantes de posgrado, era perfectamente consciente de que no era realista para construir álgebras de Lie de forma abstracta en el Bourbaki estilo. En particular, yo no quiero hablar de el universal que envuelve álgebra (y su centro) hasta que era realmente necesario. Al mismo tiempo, realmente sentí que era útil para hablar del teorema de Weyl antes de lo habitual ya que yo estaba haciendo hincapié en la representación de la teoría más que en la teoría de la estructura.

De hecho, como una adición posterior a mi libro indicado, Víctor Kac demostrado en el mediados de la década de 1970, el valor de trabajar con un solo Casimir-tipo de operador en su enfoque afín álgebras de Lie y lo que vino a ser conocido como el Weyl-Kac carácter fórmula.

De todos modos, es claro que el enfoque de Weyl imitando el tratamiento clásico de la completa reducibilidad para grupos finitos es la más natural, pero para esto usted tiene que ser en el marco de compacto Mentira grupos y invarioant integración. Hay ventajas de trabajar con álgebras de Lie directamente en un puramente algebraica marco, aunque, por supuesto, algunas de las ideas pierden su grupo original de la teoría de la motivación.

Para mí la prueba de álgebra era una buena ilustración del poder de abstractas de pensamiento algebraico, especialmente para los estudiantes que no expuestos previamente a tales pruebas. Pero la principal motivación para la introducción de la Casimir elemento sería tener un "invariante" los desplazamientos operador (esencialmente viven en el indefinido universal que envuelve álgebra) con respecto a los finito dimensionales de la representación. Donde este operador es otra cuestión, ya que de Casimir propio trabajo tenía una física de origen. Si es o no ayuda a proporcionar una definición intrínseca para el operador es otra cuestión, pero para eso hay un antes MO pregunta así: 52587 junto con mi anterior pregunta histórica 41150.

Answer 2

Creo que hay dos cosas para estar motivado: uno es el Casimir, y el otro es la prueba de semi-simplicidad.

En primer lugar, para el Casimir, puede ayudar a darse cuenta de que no es una `fórmula" libre de construcción. Un bilineal simétrica forma $\kappa$ define $\mathfrak{g}\simeq \mathfrak{g}^{\vee}$, y el Casimir es la imagen en $U(\mathfrak{g})$ del elemento correspondiente a la identidad bajo el isomorfismo $\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}\simeq \mathfrak{g}^{\vee}\otimes\mathfrak{g}$.

La idea de la prueba es en realidad muy simple: construir un elemento del centro de la álgebra que `detecta" la representación trivial. I. e., actúa por cero en el trivial de la representación y por un no-cero escalar en todos los simples (finito-dimensional) de las representaciones. (Esto es en exacta analogía a lo que sucede por grupos finitos en característica cero: a continuación, $1-\frac{1}{|G|}\sum_{g\in{G}}\delta_g$ tiene la misma propiedad).

Una vez que usted tiene como un elemento central, vamos a llamar a $C$, la prueba de que finito-dimensional representaciones son semi-simple es fácil. Para todos los $V,W$, tenga en cuenta que: $$\operatorname{Ext}^i(V,W)= \operatorname{Ext}^i(\mathbb{C}\underline{\operatorname{Hom}}(V,W))$$ (donde $\underline{\operatorname{Hom}}$ interno $\operatorname{Hom}$ en relación a la costumbre producto tensor de $\mathfrak{g}$-módulos, y tanto $\operatorname{Ext}$s de $\mathfrak{g}$-módulos) debido a la formación de los internos de las $Hom$ es exacta en ambas variables. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que $\operatorname{Ext}^1(\mathbb{C},V)=0$ para todos finito-dimensional $\mathfrak{g}$-módulos de $V$ (sustituto $\underline{\operatorname{Hom}}(V,W)$ para $V$).

Claramente cualquier $V$ tiene longitud finita, así que por devissage, es suficiente para demostrar por módulos sencillos. Cualquiera de las $V$ es trivial o no lo es. Si $V$ no es trivial, entonces $C$ actúa en $\operatorname{Ext}^i(\mathbb{C},V)$ por dos diferentes escalares: el uno por el que actúa en $V$ y $0$ (por el que actúa en $\mathbb{C}$). Por lo tanto, este espacio vectorial debe ser cero. Si $V=\mathbb{C}$,, a continuación,$\operatorname{Ext}^1(\mathbb{C},\mathbb{C})=0$, ya que para cualquier extensión de $E$, el homomorphism $\mathfrak{g}\to\operatorname{End}(E)$ se asigna a la 1-dimensional subespacio envío de $E$ a $\mathbb{C}$ y el envío de $\mathbb{C}$ a $0$, pero desde $\mathfrak{g}$ no tiene codimension 1 ideales este debe ser el trivial homomorphism.

Por supuesto, básicamente, la misma prueba pasa a través de grupos finitos y es esencialmente la misma que la prueba usual.

Answer 3

Me sorprende que nadie haya mencionado el diferencial geométricos motivación para el Casimir elemento.

Supongamos $\mathfrak{g}$ es el álgebra de la Mentira de un simple compacto de Lie del grupo de $G$. A continuación, $U(\mathfrak{g})$ es el álgebra de operadores diferenciales invariantes en $G$.

$G$ natural bi-invariante métrica, dada por el Asesinato de formulario. Pero ahora hay un evidente elemento central de $U(\mathfrak{g})$: el Laplaciano asociados a esta métrica! Este es precisamente el Casimir elemento. Es la centralidad de la siguiente manera "por el puro pensamiento" de la bi-invariancia de la Matanza forma. Para obtener Casimir elementos en general y a demostrar su centralidad, simplemente copiar las fórmulas del caso de la Mentira álgebra asociada a una Mentira grupo.

Yo siempre había asumido esta fue la motivación original para la construcción.

Answer 4

Voy a sonar mi propio cuerno un poco por mencionar las notas de la conferencia en un curso de verano que me enseñó sobre este mismo tema el año pasado. Los pertinentes de la conferencia este y en ella, decidí (basado en las respuestas a mi pregunta de por Qué la Matanza forma?) para presentar Casimir como un análogo de la promedio de operación para probar el teorema de Weyl" (es decir, el teorema de Maschke) para grupos finitos. Nunca encontró una buena manera de realmente dibujo de un exacto paralelo, sino que se trata de la estructura de la prueba de tal manera que estaba claro que este era como funcionaba. (Todas las matemáticas es copiado de Humphreys.)