Por supuesto, se podría decir que ambos $Z(G)$ y $[G,G]$ en cierto sentido, "miden" la no conmutatividad de $G$ . Pero no son muy buenas medidas "cuantitativas".
Creo que lo que se pretende es una noción introducida por Turán y Erdős ( Algunos problemas de la teoría estadística de grupos IV , Acta Math. Acad. of Sci. Hung. 19 (1968), 413-435), la "probabilidad de que dos elementos de $G$ conmutar": $$P(G) = \frac{\left|\{ (x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}\right|}{|G|^2}.$$ De hecho, $P(G) = k/|G|$ , donde $k$ es el número de clases de conjugación de $G$ . Gustafson demostró que si $G$ es no abeliano entonces $P(G)\leq 5/8$ y extendió la noción a grupos compactos utilizando la medida de Haar (W. Gustafson, ¿Cuál es la probabilidad de que dos elementos del grupo se conmuten? Matemáticas americanas. Monthly 80 (1973) 1031-1034). MacHale demostró que ciertos valores no pueden ocurrir: si $P(G)\gt \frac{1}{2}$ entonces $P(G) = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2s+1}$ y $P(G)$ no puede satisfacer $\frac{7}{16} \lt P(G) \lt \frac{1}{2}$ . José demostró que si $G$ no es conmutativo y $p$ es el primo más pequeño que divide a $|G|$ entonces $P(G)\leq \frac{p^2+p-1}{p^3}$ (K.S. Joseph, Conmutatividad en grupos no abelianos (tesis doctoral, 1969, UCLA). Ha habido otros trabajos sobre esto.
En el caso de $S_3$ . $|G|=6$ y el conjunto de pares $(x,y)$ con $xy=yx$ es, como usted señala, $18$ , por lo que la probabilidad de que dos elementos conmuten es precisamente su "50% no abeliano".
Su segunda noción parece ser la de mirar $G/[G,G]$ que es el cociente "mayor" de $G$ que es abeliana.
Añadido: Ya que he editado para arreglar el acento de Erdős, aprovecho para añadir algunas referencias:
- Desmond MacHale, ¿Cómo de conmutativo puede ser un grupo no conmutativo? , Matemáticas. Gaceta 58 (1974), 299-202.
- David J. Rusin, ¿Cuál es la probabilidad de que dos elementos de un grupo finito se conmuten? , Pacific J. Math 82 (1979), nº 1, 237-247.
- Robert Guralnick y Geoff Robinson, Sobre la probabilidad de conmutación en grupos finitos J. Álgebra 300 (2006), nº 2, 509-528, MR 2228209 (2007g:60011); Apéndice J. Álgebra 319 (2008), no. 4, 1822.
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Un par de nociones estándar en este contexto general son el subgrupo conmutador y la abelianización (véase es.wikipedia.org/wiki/Subgrupo_de_comutadores ) A continuación, se podrían comparar las cardinalidades respectivas de los grupos y estos (o uno de estos basta) grupos derivados. Sin embargo, no estoy seguro de que esto vaya realmente en la dirección que usted imagina
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La clase de nilpotencia y la longitud derivada son "medidas de no abelianidad" en cierto sentido. También se pueden considerar los grados de los caracteres complejos: un grupo finito es abeliano si y sólo si todos sus caracteres irreducibles son de grado 1. En el caso de los grupos infinitos generados finitamente, podríamos preguntarnos a qué distancia está un grafo de Cayley de tener una métrica "euclidiana", lo que nos lleva a la teoría de la distorsión. No creo que haya una medida estándar que sirva para todos los fines.
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es.wikipedia.org/wiki/Subgrupo_de_comutadores#Serie_derivada
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@Colin: De hecho, la clase de nilpotencia no es una medida tan buena para la no belianidad en algunos sentidos. Consideremos un gran diedro $2$ -grupo de orden $2^{n+1}$ . Tiene un subgrupo abeliano (normal) de índice $2,$ pero tiene clase de nilpotencia $n$ .
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Para las álgebras generales, existe una noción de abeliano que corresponde a la noción habitual en el caso de los grupos y anillos. Para las álgebras finitas, esto tiene un impacto directamente calculable y medible en las congruencias de un álgebra. El concepto también se ha utilizado en cuestiones de decidibilidad para ciertas clases de variedades. Si te interesa, Joseph, buscaré en mis notas y publicaré una respuesta más detallada más adelante. Sin embargo, dudo que saques alguna noción de probabilidad de ello. Gerhard "Amazed About Remembering This Stuff" Paseman, 2013.03.25
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@JosephO'Rourke $E^\infty$ -son abelianas.