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Medidas de no abelianidad

Dejemos que $G$ sea un grupo finito no abeliano de $n$ elementos. Me gustaría tener una medida que capte intuitivamente el medida en que $G$ es no conmutativo. Una medida fácil es el recuento de los productos no conmutativos. Por ejemplo, para $S_3$ 9 productos son no conmutativos, o, 18 de las 36 entradas de la tabla de multiplicación indican no conmutativa (en la tabla, $r$ =rotación; $f$ =vuelta):
           S3Table
Así que uno podría decir $S_3$ es 50% no abeliano.

Otra idea es determinar el menor número de identificaciones de elementos necesarias para que el grupo sea abeliano. Si se identifican los elementos $r$ y $r^2$ anterior, y llama al elemento fusionado resultante $a$ , entonces creo que $S_3$ se reduce a la abeliana $C_2$ :
           S3RedC2
Así que uno podría decir $S_3$ está a un elemento de identificación de ser abeliano.

Mi pregunta es:

¿Hay alguna medida estándar y aceptada de lo lejos que está un grupo de ser abeliano?

Lo ideal sería que dicha medida no se limitara a grupos finitos. Gracias ¡por las indicaciones!

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Un par de nociones estándar en este contexto general son el subgrupo conmutador y la abelianización (véase es.wikipedia.org/wiki/Subgrupo_de_comutadores ) A continuación, se podrían comparar las cardinalidades respectivas de los grupos y estos (o uno de estos basta) grupos derivados. Sin embargo, no estoy seguro de que esto vaya realmente en la dirección que usted imagina

5 votos

La clase de nilpotencia y la longitud derivada son "medidas de no abelianidad" en cierto sentido. También se pueden considerar los grados de los caracteres complejos: un grupo finito es abeliano si y sólo si todos sus caracteres irreducibles son de grado 1. En el caso de los grupos infinitos generados finitamente, podríamos preguntarnos a qué distancia está un grafo de Cayley de tener una métrica "euclidiana", lo que nos lleva a la teoría de la distorsión. No creo que haya una medida estándar que sirva para todos los fines.

69voto

Vian Esterhuizen Puntos 138

Por supuesto, se podría decir que ambos $Z(G)$ y $[G,G]$ en cierto sentido, "miden" la no conmutatividad de $G$ . Pero no son muy buenas medidas "cuantitativas".

Creo que lo que se pretende es una noción introducida por Turán y Erdős ( Algunos problemas de la teoría estadística de grupos IV , Acta Math. Acad. of Sci. Hung. 19 (1968), 413-435), la "probabilidad de que dos elementos de $G$ conmutar": $$P(G) = \frac{\left|\{ (x,y)\in G\times G\mid xy=yx\}\right|}{|G|^2}.$$ De hecho, $P(G) = k/|G|$ , donde $k$ es el número de clases de conjugación de $G$ . Gustafson demostró que si $G$ es no abeliano entonces $P(G)\leq 5/8$ y extendió la noción a grupos compactos utilizando la medida de Haar (W. Gustafson, ¿Cuál es la probabilidad de que dos elementos del grupo se conmuten? Matemáticas americanas. Monthly 80 (1973) 1031-1034). MacHale demostró que ciertos valores no pueden ocurrir: si $P(G)\gt \frac{1}{2}$ entonces $P(G) = \frac{1}{2} + \left(\frac{1}{2}\right)^{2s+1}$ y $P(G)$ no puede satisfacer $\frac{7}{16} \lt P(G) \lt \frac{1}{2}$ . José demostró que si $G$ no es conmutativo y $p$ es el primo más pequeño que divide a $|G|$ entonces $P(G)\leq \frac{p^2+p-1}{p^3}$ (K.S. Joseph, Conmutatividad en grupos no abelianos (tesis doctoral, 1969, UCLA). Ha habido otros trabajos sobre esto.

En el caso de $S_3$ . $|G|=6$ y el conjunto de pares $(x,y)$ con $xy=yx$ es, como usted señala, $18$ , por lo que la probabilidad de que dos elementos conmuten es precisamente su "50% no abeliano".

Su segunda noción parece ser la de mirar $G/[G,G]$ que es el cociente "mayor" de $G$ que es abeliana.

Añadido: Ya que he editado para arreglar el acento de Erdős, aprovecho para añadir algunas referencias:

  • Desmond MacHale, ¿Cómo de conmutativo puede ser un grupo no conmutativo? , Matemáticas. Gaceta 58 (1974), 299-202.
  • David J. Rusin, ¿Cuál es la probabilidad de que dos elementos de un grupo finito se conmuten? , Pacific J. Math 82 (1979), nº 1, 237-247.
  • Robert Guralnick y Geoff Robinson, Sobre la probabilidad de conmutación en grupos finitos J. Álgebra 300 (2006), nº 2, 509-528, MR 2228209 (2007g:60011); Apéndice J. Álgebra 319 (2008), no. 4, 1822.

1 votos

@Arturo: El modelo de Turán-Erdos es perfecto--¡Muchas gracias! Fascinante que ciertos valores de $P(G)$ no puede ocurrir.

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Enlaces: MacHale ( MSN ); Rusin ( MSN ); Guralnick y Robinson y errata ( MSN ).

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¿Podría ampliar la primera frase de esta respuesta? ¿Por qué $Z(G)$ y $[G,G]$ ¿no son buenas medidas cuantitativas?

14voto

twk Puntos 151

Puedes mirar el gráfico de conmutatividad de un grupo finito (los vértices son elementos, una arista conecta $a$ y $b$ si $ab=ba$ . Éste y otros gráficos similares han sido ampliamente estudiados. Véase, por ejemplo, este y las referencias que contiene.

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"On commutativity and finiteness in groups", de Oliveira y Sidki. Gracias, Mark.

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Shannon Nelson Puntos 1364

Sí, como dice Arturo, probablemente quieras lo que se conoce como "probabilidad de desplazamiento de $G$ ", cp(G). Bob Guralnick y yo demostramos (entre otras cosas) en un artículo del Journal of Algebra (alrededor de 2006) (sin utilizar la clasificación de grupos simples finitos) que $cp(G) \to 0$ como $[G:F(G)] \to \infty,$ donde $F(G)$ es el mayor subgrupo normal nilpotente de un grupo finito $G,$ aunque es posible obtener resultados más nítidos utilizando la clasificación.

2 votos

Sobre la probabilidad de conmutación en grupos finitos J. Álgebra 300 (2006), nº 2, 509-528, MR 2228209 (2007g:60011); Apéndice con diversas referencias, J. Algebra 319 (2008), no. 4, 1822. Siento haberlo omitido en mi (breve) lista de referencias.

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Eso debería ser probabilidad de desplazamiento no "probabilidad conmutada". Lo siento.

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@Arturo: ¡Ni una disculpa es necesaria! El no poder editar los comentarios es a veces un dolor.

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sackoverflow Puntos 33

Para ciertas aplicaciones, la abelianidad de un grupo es inversamente proporcional a la quasirandom-ness de un grupo. Esta última noción es más oscura, por lo que esta observación podría no ser una ayuda al principio. Por otro lado, el cuasirandomismo puede se puede medir cuantitativamente de varias formas básicamente equivalentes.

Todo esto está muy bien expuesto en el periódico Grupos cuasi aleatorios por Tim Gowers. Este es el primer artículo en el que aparece la noción de grupo cuasirandino, y Gowers da cinco definiciones equivalentes. Quizá la más accesible sea ésta: un grupo es $c$ -quasirandom si la dimensión más pequeña de una representación irreducible no trivial es al menos $c$ . Evidentemente, los grupos abelianos son 1-cuasirandos, pero no 2-cuasirandos; de hecho, lo mismo ocurre con todos los grupos no perfectos.

Por otra parte, Gowers hace esta observación sobre la familia de grupos $PSL_2(q)$ :

...el orden de $PSL_2(q)$ es $q(q^2 1)/2$ por lo que la menor dimensión de una representación no trivial es proporcional a la raíz cúbica del orden del grupo. Esto nos dice que, en cierto sentido, $PSL_2(q)$ está muy lejos de ser abeliana.

3voto

Elias Yarrkov Puntos 1585

Sin embargo, no estoy seguro de que lo siguiente sea útil...

De forma similar a la respuesta de Mark Sapir, consideremos el grafo de la "anticomutatividad" (una arista conecta $a$ y $b$ si $ab\ne ba$ ). Por supuesto, no es conectado, y el número de sus componentes conectados puede tomarse como una medida de la no-abelianidad. Por ejemplo, esta medida es igual a 2 (valor mínimo) para $S_n (n\ge 5)$ .

Adenda: Morfeover, todo grupo simple tiene la medida 2.

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