Motivación: El siguiente problema surgió en [1] , mientras que el estudio de la distribución vertical de los ceros de la de Riemann zeta función. En el momento, mis colaboradores y yo fuimos incapaces de resolver y nunca he sido capaz de obtener una "respuesta satisfactoria."
Set-up: Vamos a $r\ge 1$ y deje $f \in L^2[0,1]$ ser un continuo valor real de la función de variación acotada en $[0,1]$, normalizado, de modo que $$ \int_0^1(1-u)^{r^2-1}f(u)^2 du = 1. $$ Definir $M(c)=M(c,f,r)$ como $$ M(c):=c+\frac{2 r}{\pi}\int_0^1 (1-u)^{r^2-1}f(u) \int_0^u \frac{\sin(\pi c v)}{v} f(u-v) \ dv \ du.$$
Pregunta: ¿Cómo se elige $r$ e $f$ de forma óptima, de modo que $$ M(c) >1$$ para $c$ tan pequeño como sea posible?
Un argumento de Conrey, Ghosh, y Gonek [2] puede ser usado para mostrar que $M(c)<1$ si $c<\frac{1}{2}$ para cualquier $f$ e $r$. En [1], la elección de $f$ a ser un polinomio de bajo grado ($\le 6$) y el uso de Mathematica para numéricamente optimizar el $r$ y los coeficientes, hemos sido capaces de encontrar $f$ e $r$ tal que $M(.5155)>1$.
En el caso especial cuando $r=1$, Montgomery y Odlyzko [3] observó que este problema de optimización ya había sido resuelto mediante esferoidales prolatas las funciones de onda (ver comentario abajo). Aquí es cómo reducir el problema a uno que ya fue resuelto. En este caso, tenemos $$ M(c) = c+ \int_0^1\int_0^1 f(u) f(v) \frac{\sin(\pi c(u-v))}{\pi(u-v)} \ dv \ du. $$ La integral doble en el lado derecho es $$ \int_{-c/2}^{c/2} \left| \int_0^1 f(v) e^{2\pi i t v} dv \right|^2 dt :=I(c),$$ decir. Luego, observaron que la elección de $$ f(x) = aR_{00}^{(1)}[\pi c/2,2x-1]$$ maximiza $I(c)$ donde $R_{mn}^{(1)}[c,x]$ es el radial esferoidales prolatas de la función de onda de la primera clase de orden m y de grado n, y una es una constante a ser elegido de acuerdo a nuestras encima de la normalización.
Estas funciones de onda son muy difíciles de estudiar numéricamente, y Montgomery y Odlyzko aproximó a ellos utilizando una versión modificada de funciones de Bessel. En [1], al $r=1$, se recuperaron de sus resultados a cuatro decimales usando polinomios de grado cuatro. Así que en este caso parece que los polinomios de grado pequeño trabajo (casi) así como las técnicas más sofisticadas.
Referencias:
[1] H. M. Bui, M. B. Milinovich, y N. C. Ng, Una nota sobre las brechas entre ceros consecutivos de la de Riemann zeta función, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 138 (2010), no. 12, pp 4167-4175.
[2] J. B. Conrey, A. Ghosh, y S. M. Gonek, Una nota sobre las brechas entre los ceros de la función zeta, Bull. Londres Matemáticas. Soc. 16 (1984), 421-424.
[3] H. L. Montgomery y A. M. Odlyzko, las Brechas entre los ceros de la función zeta, Colloq. De matemáticas. Soc. Janos Bolyai, 34. Los temas Clásicos de la Teoría de números (Budapest, 1981), North-Holland, Amsterdam, 1984.
Editar/Comentario Adicional: La solución del problema de optimización al $r=1$ debe probablemente se puede atribuir a Slepian y Pollak y a Landau y Pollack en esferoidales Prolatas funciones de onda, análisis de Fourier y la incertidumbre I y II, Sistema de timbre de Tecnología. J. (1961) 40, pp 43-61 (I) y p 65-84 (II). Entre otras cosas, se muestran los siguientes resultados.
Teorema: Vamos a $\alpha(c)$ ser el menor número tal que $$ \int_{-c/2}^{c/2} \left|\int_0^1 f(x) e^{2\pi i t x} dx \right|^2 dt \le \alpha(c) \int_0^1 |f(x)|^2 dx $$ para todos los $f\in L^2[0,1]$. A continuación, $\alpha(c)$ es estrictamente creciente, $\alpha(c)\lt c$ para $c \gt 0$, $\alpha(c)\sim c$ como $c\to 0^+$, e $\alpha(c)\to 1$ as $c\to \infty$. Por otra parte, se logra la igualdad en la desigualdad anterior si $f(x) = R_{00}^{(1)}[\pi c/2,2x-1]$.
Una de las posibles hang-ups en la solución del problema de optimización al $r>1$ es que no he sido capaz de "completar" la integral doble $$\int_0^1 (1-u)^{r^2-1}f(u) \int_0^u \frac{\sin(\pi c v)}{\pi v} f(u-v) \ dv \ du$$ en una integral doble de la forma $$ \int_0^1 \int_0^1 [\text{nice integrand}] \ dv \ du,$$ cual es el primer paso en Montgomery & Odlyzko del argumento.
