Creo que Noé respuesta de razón en casi todo, pero en parte engañosa, y explicando por qué se toma demasiado espacio para un comentario, así que voy a postear de respuestas separada.
Como Noé, dice, el principal conceptual punto es que HoTT nos obliga a onu-nos confundimos sobre la diferencia entre un espacio topológico y un $\infty$-groupoid, que son conceptualmente distintas, pero históricamente han sido refundidos en topología algebraica. (En realidad, la mayor topos de la teoría ya nos empuja en esa dirección, pero HoTT es más insistente.)
Por otro lado, la principal técnica punto es que en el "Libro HoTT" no sabemos cómo definir la "fundamental $\infty$-groupoid" functor que toma topológico, espacio asociado a su $\infty$-groupoid. Dos cosas importantes a destacar acerca de esta frase son: (1) es una declaración acerca de un determinado sistema formal (la que se utiliza en la HoTT Libro), que es sólo una parte de la materia de HoTT, y (2) es (actualmente) una declaración acerca de la ignorancia en lugar de imposibilidad. Sin embargo, tiene dos importantes pre-clínicas:
En el Libro HoTT, para definir un determinado $\infty$-groupoid, tienes que definirlo como un $\infty$-groupoid, es decir, utilizando puramente $\infty$-groupoidal nociones; que no se puede "engañar" al definir a ser fundamental $\infty$-groupoid de algunos topológica del espacio. (La definición también tiene que ser "finitary" en cierto sentido — se puede utilizar infinitary construcciones, pero tienen que ser finitely expresable como por inducción sobre la interna de números naturales.)
En el Libro HoTT, usted está fuera de suerte si usted desea utilizar espacios topológicos para probar cosas acerca de sus fundamentales $\infty$-groupoids, o el uso fundamental de la $\infty$-groupoids a probar cosas acerca de su originario espacios topológicos.
Estos problemas, aunque importantes, son parte de la razón por la que dijo en el vinculado a la respuesta de que "la promesa de HoTT todavía no está plenamente realizada". Tenga en cuenta que HoTT es sólo un par de años; ya estamos trabajando en diferentes maneras para solucionarlos.
El primero de ellos es mucho menos de un un obstáculo insalvable que usted podría pensar. Muy a menudo, resulta que un $\infty$-groupoid que clásicamente se define a partir de algunos topológica del espacio también tiene una presentación natural puramente $\infty$categoría de lenguaje, que en ocasiones pueden aportar una visión nueva e importante acerca de ella y permite limpiar las pruebas sintéticas homotopy teoría. El ejemplo más sencillo es el de las esferas: como Qiaochu menciona en un comentario, $S^n$ puede ser definida como libremente generada por un punto y un $n$-automorphism. Cualquier CW-complejo de descomposición de un espacio es también una presentación gratuita de su fundamental $\infty$-groupoid, aunque para ser expresable en HoTT tal descomposición debe ser finito o "finitarily definible" (por el interior de la inducción). Y clasificación de los espacios se pueden definir fácilmente utilizando el univalentes universo; véase a este blog , por ejemplo. Y recientemente, Ulrik Buchholtz y Egbert Rijke han hecho un importante avance en la unificación de los dos últimos enfoques para la clasificación de los espacios, el uso de la clasificación de la información como una forma de finitarily presente un CW-complejo de descomposición; en este documento se aplican a espacios proyectivos reales, pero creo que las ideas similares deben trabajar más en general.
No sé si alguien ha escrito una definición de la $\infty$-groupoid $SU(n)$, en particular, pero estoy seguro de que esto será posible. De hecho, probablemente será mejor directamente de construir su clasificación de espacio $BSU(n)$ y, a continuación, defina $SU(n) = \Omega BSU(n)$, ya que de este modo la estructura del grupo de $SU(n)$ va a surgir de forma automática (delooping arbitraria $\infty$-groupoids es otra cosa que no sabemos cómo hacer dentro del Libro HoTT). No estoy de acuerdo con Noé que este "no ser la construcción de $SU(n)$ pero algo equivalente": sería perfectamente válida de la construcción de la $\infty$-groupoid $SU(n)$, y un $\infty$-groupoid sólo está definido hasta equivalencia. Lo que no se es una prueba de que el $\infty$-groupoid fundamental es la de $\infty$-groupoid de algunos topológica del espacio. Por supuesto, el nombre de "$SU(n)$" para esta $\infty$-groupoid se deriva de la topológica del espacio de que clásicamente es fundamental $\infty$-groupoid, pero el accidente de la historia, no es razón para denigrar a la existencia de la $\infty$-groupoid en su propio derecho.
El segundo problema anterior es más problemática, y hay varias maneras en que uno puede tratar de resolverlo. Para empezar, uno podría esperar para demostrar que los $\infty$-groupoids son definibles en el Libro HoTT; pero no sé de nadie a trabajar en esto, y creo que el sentimiento general es que parece ser que es probable que no sea posible.
La otra posibilidad es introducir a los sistemas formales que son mejores que el Libro HoTT. Desde el obstáculo para la definición fundamental de la $\infty$-groupoids en el Libro HoTT es su infinitary la naturaleza (que tiene que decir "continua mapas de $D^k \to X$ inducir $k$-dimensiones rutas en $\Pi_\infty(X)$" para todos los $k$, de manera coherente), el "obvio" que la manera de proceder es la de mejorar con las maneras de hablar de infinitary las cosas de una manera más limpia. Aquí creo que el estado de la técnica es de dos niveles tipo de teoría, una constelación de sistemas formales e ideas que giran alrededor de la idea de la re-introducción (de manera controlada) el tipo de "estricto punto de conjunto de nivel de igualdad" ese Libro HoTT sobre todo evita. No creo que alguien acaba de aplicar esto a la definición fundamental de la $\infty$-groupoids, pero debe ser muy posible.
Otra posibilidad es cohesivo HoTT, que es menos obvia y requiere más re-entrenamiento de nuestra intuición, pero en mi opinión, los rendimientos de una forma más elegante resultado. Contrario al enfoque anterior (y lo que Noah implícita), cohesionada HoTT ¿ no requerir explícitamente definir colectores, espacios topológicos, o incluso fundamentales, $\infty$- groupoids! De hecho, este es precisamente el punto: sólo como "normal" HoTT es fundacional de la teoría de cuyos objetos básicos puede ser considerado como $\infty$-groupoids, cohesionada HoTT es fundacional de la teoría de cuyos objetos básicos puede ser considerado como topológica $\infty$-groupoids (la motivación modelo consta de $\infty$-pilas en el sitio de la Euclídea espacios de $\mathbb{R}^n$). Así, al igual que en la llanura HoTT no es necesario definir todos los "$k$-simplices" de $S^n$ por separado, sino que surgen de forma automática a partir de su presentación a través de generadores y relaciones, en cohesivo HoTT no es necesario definir la topología de $\mathbb{R}^n$ explícitamente, pero se plantea de forma automática a partir de la definición del conjunto de $\mathbb{R}$ el uso de Dedekind cortes. Por otra parte, no es necesario definir el fundamental groupoid functor especificando explícitamente su $k$-rutas; dispone de un sencillo universal de los bienes relacionados a este tipo de "intrínseca de la topología" de la "intrínseca $\infty$-groupoidness" de la llanura HoTT.
Así que, en conclusión, en cohesivo HoTT puede definir el $\infty$-groupoid $SU(n)$ más fácilmente que en la clásica topología algebraica. Definir $\mathbb{R}$ el uso de Dedekind cortes, definir $\mathbb{C}$ en la forma obvia, y definir el conjunto de $SU(n) \subseteq \mathbb{C}^{n^2}$ el uso de las habituales fórmulas algebraicas, a continuación, aplicar el fundamental $\infty$-groupoid functor (que en cohesivo HoTT se llama su "forma", escrito ʃ $SU(n)$). Usted no necesita pensar acerca de la topología de $\mathbb{C}$ o el colector de la estructura de $SU(n)$ a todos; que se va a llevar a lo largo del paseo automáticamente. (Sin embargo, usted necesita ser un poco cuidadoso al hacer las cosas en el lugar correcto "constructivos" de manera, que por ejemplo, significa la correcta utilización de la constructiva noción de "Dedekind corte".)
