Esta pregunta es una nueva publicación de un comentario que hice en Polynomial que representa todos los enteros no negativos . Deje$f(x,y)\in \mathbb Q[x,y]$ de modo que$f(\mathbb Z\times \mathbb Z)$ sea un subconjunto de$\mathbb N$ (los enteros no negativos). Deje que$g(n)$ sea el número de elementos de$f(\mathbb Z\times \mathbb Z)\cap \lbrace 0,1,\dots, n\rbrace$. ¿Qué tan rápido puede crecer$g(n)$? ¿Es siempre cierto que$g(n)=O(n/\sqrt{\log(n)})$? Si es cierto, esto es lo mejor posible ya que si$f(x,y)=x^2+y^2$ entonces$g(n)\sim cn/\sqrt{\log(n)}$.
Respuesta
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Yo sin duda lo haría esperar $g(N)$ a ser bastante pequeño al $f$ tiene el grado más grande. Consideremos el caso especial en donde $f(x,y)=x^d+y^d$, para $d\geq 3$. Considere la posibilidad de la función aritmética $r(n)$, que cuenta el número de $(x,y)\in \mathbb{N}^2$ tal que $n=f(x,y)$. El primer momento de la $r(n)$ es fácil de entender a través de la geometría de los números. El segundo momento fue mirado por Hooley (En otro tamiz método y los números que son una suma de dos $h$th poderes. Proc. Londres Matemáticas. Soc. 43 (1981), 73-109).
Como consecuencia de ello, existe una explícita constante $c>0$ que no son asintóticamente $c N^{2/d}$ enteros $n\leq N$ que puede ser escrito como $x^d+y^d$, y además, casi todas estas esencialmente sólo una representación.
