¿Por qué las partes reales e imaginarias de una función analítica compleja no son independientes?

Question

Tengo problemas para entender toda una serie de cosas que en el análisis complejo, que tengo básicamente el seguimiento a la declaración de "partes real e imaginaria de un complejo de la analítica de la función no son independientes."

Debido a eso, yo realmente no entiendo la de Cauchy-Riemann ecuaciones, el hecho de que para una analítica de la función, si de su parte real es constante, entonces la función es constante, y otras cosas fundamentales, como la de Cauchy de la Integral de la fórmula, Máximo módulo principio, etc. (los dos últimos sólo hacer cero sentido para mí.)

La cosa es que, yo muy mucho a entender las pruebas, empezando desde el principio, a la hora de definir la diferenciabilidad de una función compleja. Yo no tengo ningún problema con la introducción de los números complejos, y así, las diferentes identidades.

Pero yo simplemente no tiene la intuición de por qué las cosas son así, y es muy frustrante, porque siempre siento que no entiendo de números complejos en todo, y acaba de hacer algunos ejercicios estándar en la clase, basándose en los hechos probados que acabo de asumir para ser verdad como un punto de partida.

Pero tan pronto como me vaya y trate de entender el significado de las cosas que en el trabajo de la clase, me acaba de dejar inmediatamente de entender nada.

Alguien me puede ayudar a entender por qué las partes real e imaginaria de una función compleja, no son independientes?

Answer 1

Es realmente sólo una cuestión de la definición de la derivada. Si $z=x+yi,$ $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ puede ser cualquier par de funciones $u,v.$

Pero si $f$ es diferenciable, entonces:

$$f'(z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}\tag{1}$$

a continuación, $h$ puede acercarse a $0$ en muchas formas diferentes, desde la $h$ es complejo.

Por ejemplo, usted puede tener $h\to 0$ sobre la línea real. Entonces: $$f'(z)=\frac{\partial u}{\partial x} +i\frac{\partial v}{\partial x}$$

Pero si $h\to 0$ a lo largo de la parte imaginaria, entonces:

$$\begin{align}f'(z)&=\frac{1}{i}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i\frac{\partial v}{\partial y}\right)\\ &=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y} \end{align}$$

Así que para el límite para ser independiente de cualquier camino que tome $h\to 0$ debe tener, como mínimo, que $$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}\tag{2}$$

Así, por (1) para ser verdad, necesitamos $u,v$ a satisfacer las ecuaciones diferenciales (2).

Resulta que $(2)$ es suficiente para garantizar que los $(1)$ converge a un valor único, pero que no es 100% obvio.

Las ecuaciones en (2) se llama el Cauchy-Riemann ecuaciones.

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Otra manera de mirar esto es, dada una función de $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ asignación de $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}u(x,y)\\v(x,y)\end{pmatrix}$ existe una matriz derivada estándar de multi-variable cálculo:

$$Df\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}\end{pmatrix}\tag{3}$$

Para los pequeños vectores $$\mathbf h=\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix}$$ you get $f\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\mathbf h\right)\aprox f\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+Df\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\mathbf h.$

En particular, $Df$ es, en cierto sentido, el "mejor" de la matriz, $\mathbf A,$ para la estimación de $f(\mathbf v+\mathbf h)\approx f(\mathbf v)+\mathbf A\mathbf h.$

Ahora, estas matrices no son números complejos. Pero un dato interesante es que el conjunto de matrices de la forma:

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\tag{4}$$

son un anillo isomorfo al anillo de los números complejos. Específicamente, el de arriba de la matriz corresponde a $a+bi.$

También tenemos que:

$$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}ax-by\\bx+ay\end{pmatrix}$$

comparar con:

$$(a+bi)(x+yi)=(ax-by)+(ay+bx)i.$$

Así que estas matrices (4) actuar en $(x,y)^T$ de la misma manera que $a+bi$ actúa en $x+yi$ por multiplicación.

El Cauchy-Riemann de las ecuaciones (2) sólo significa que $Df\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ es un ejemplo de (4), es decir, cuando el Cauchy-Riemann ecuaciones son verdaderas para $u,v$ , a continuación, el multi-variable derivados (3) puede ser pensado como un número complejo.

Así, podemos ver que cuando satisfacemos de Cauchy-Riemann, $Df\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\cdot\mathbf h$ puede ser visto como la multiplicación de números complejos, $f'(z)$ e $h=h_1+h_2i.$ Entonces usted tiene:

$$f(z+h)\approx f(z)+f'(z)h.$$

donde $f'(z)$ es no solo la mejor estimación del número complejo para esta aproximación, pero también se $f'(z)$ es el mejor lineales operación $h$ para esta estimación.

Para el análisis complejo está tomando el vector de la función y preguntando, $f$ "cuando ¿tiene sentido pensar que la derivada de la $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ como un número complejo?" Que es exactamente cuando Cauchy-Riemann es cierto.

En el caso general, $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,$ que no puede realmente tomar la segunda derivada y obtener una estimación $f(z+h)\approx f(z)+Df(z)\cdot h +\frac{1}{2}D^2f(z)\cdot h^2+\cdots.$ , no podemos obtener fácil equivalentes a la alimentación de la serie de aproximaciones de $f.$

Pero cuando $Df$ satisface de Cauchy-Riemann, podemos pensar si $Df$ , como un complejo de valores de la función.

Para el análisis complejo es un subconjunto de los reales de análisis de las funciones de $\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ tales que la derivada de la matriz de $Df$ puede ser considerado como un número complejo. Este conjunto de funciones resulta que tiene un montón de aparentemente propiedades mágicas.

Este complejo de la diferenciabilidad resulta ser bastante fuerte de propiedad sobre las funciones que vamos a estudiar. La definición de Cauchy-Riemann ecuaciones proporciona algunas realmente encantadora resultados.

Answer 2

La forma más sensible, creo que, para entender esto, es que la diferenciación que caracteriza la micro-comportamiento local de una función en un punto. En particular, una de las varias interpretaciones de la derivada de cualquier función de $f$ en algún punto de entrada $x_0$ es que en una adecuada pequeña región alrededor de ese punto, $f$ "actos" como (hasta algunos cambios para hacer las cosas adecuadamente centrado) una multiplicación por $f'(x_0)$.

Cuando $f$ es una compleja función, entonces el complejo de la diferenciabilidad significa que debe actuar como la multiplicación por un complejo número, a saber, el complejo derivado $f'(z_0)$ por ahora un complejo de punto de prueba $z_0$. Y la multiplicación de un número complejo codifica juntos las partes real e imaginaria del número lo multiplica.

Answer 3

Desde la independencia fue muy bien dirigido en respuesta, me dirijo a la relación entre la integral de Cauchy de la fórmula y el principio del máximo de la primera. (Por debajo de la línea hay una muy similar explicación de por qué las partes reales e imaginarias no son independientes)

La integral de Cauchy fórmula intuitivamente indica que el valor en un punto es el promedio de los valores en un círculo alrededor de un punto, ponderado de alguna manera de acuerdo a su distancia (y ángulo). Esto no es fácil ver directamente desde el Cauchy-Riemann ecuaciones (es decir, la linealidad de la diferencial). Es bastante profundo teorema que $f$ es holomorphic si y sólo si $f$ satisface la integral de Cauchy fórmula (la prueba implica generalmente este ciclo: holomorphic $\Rightarrow$ integral fórmula $\Rightarrow$ de potencia de la serie $\Rightarrow$ holomorphic). La mejor prueba de la integral de Cauchy fórmula que he visto hasta ahora sólo utiliza homotopy invariancia y el hecho de que las integrales a lo largo de contráctiles curvas son cero, pero esta es una historia para otra pregunta, supongo. Permítanme señalar que la integral de Cauchy fórmula es cierto de manera más general, por ejemplo,

1. El Valor de la Media de la Igualdad para armónica de las funciones de
2. La Ecuación de Stokes para formas diferenciales en suave colectores con el límite de

Ambos de estos resultados puede ofrecer geométricas penetración cuando llegue el momento. Tal vez lo mejor es que ahora a pensar "funciones de la satisfacción de la integral de Cauchy fórmula" así como "la clase de las funciones que tiene este valor medio de la propiedad", sabiendo que en la parte de atrás de su cabeza que finalmente entender que estas funciones son en realidad la misma como "funciones de $\mathbb C$-diferencial lineal".

Creer en la integral de Cauchy fórmula tiene la ventaja de hacer el máximo principio parece intuitivo: Si la función es el promedio ponderado de sí mismo en todos los círculos a su alrededor, no puede hacerse más grande dentro de estos círculos, que en los círculos. Si usted mira de cerca, este es, probablemente, básicamente, el argumento en su prueba del principio del máximo.

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Recordemos que el diferencial de una (real)función derivable $f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ a un punto de $x \in \mathbb R^2$ es el $\mathbb R$-lineal mapa de $Df_x: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$ que se aproxima a $f$ mejor en el punto de $x$. Usted podría haber visto esto como $$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x + h) - f(x) - Df_x(h)}{\Vert h \Vert} = 0.$$ Esto podría ser visualizadas diciendo que todos (real)función derivable $f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$, después de acercar lo suficiente, se ve como una transformación lineal. Tal vez echa un vistazo a algunos de visualizaciones por 3blue1brown si usted no tiene un concreto de imagen en la mente.

Ahora considere una holomorphic función de $f: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$. En este caso, el diferencial de $f$ a $z$ es el $\mathbb C$-lineal mapa de $Df_z: \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ que se aproxima a $f$ mejor $z$. El énfasis radica en el hecho de que $Df_z$ es $\mathbb C$-lineal, es decir, $Df_z$ es simplemente la multiplicación por algún número complejo denotado $f'(z)$.

Ahora viene la importante observación: Deje $a \in \mathbb C$ ser un número complejo. A continuación, el mapa de $z \mapsto az$ está dado por el estiramiento y rotación, pero no de la esquila. Como un mapa de $\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2$, tiene la forma $$\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix},$$ donde $a = x + iy$ si eso le ayuda a visualizar (de lo contrario, por favor, ignore la matriz).

¿Por qué es esto importante? Esta muestra, que al acercar la imagen, $f$ parece estiramiento y rotación. Pero, como se puede deducir de los de arriba de la matriz, de la intuición o simplemente por la fe ciega, si usted sabe lo estiramiento y rotación hace a un vector, entonces usted también sabe lo que le hace a todos los otros vectores. Esta es la razón por la parte real e imaginaria no son independientes.

Answer 4

Considere la función lineal,

$$ f(z) = m z + b.$$

Las transformaciones del plano complejo que puede ser escrita de esta manera sólo incluyen los siguientes:

1. Las rotaciones.
2. Las traducciones.
3. Dilataciones.

El Cauchy-Riemann ecuaciones son las condiciones que una función $f(z)$ debe cumplir para que a nivel local sus transformaciones son una combinación de los anteriores transformación. Si una función no obedecer a la de Cauchy-Riemann ecuaciones, a continuación, puede introducir algún corte o cambio de los ángulos entre las curvas en los puntos de intersección.

Answer 5

Mientras que otros ya han dado excelentes respuestas detalladas, quiero contribuir a una más "básico" de la idea, que espero que pueda ayudar.

Lo especial de análisis complejo en comparación de la real, el análisis es que tiene varios "instrucciones" de la que usted puede acercarse a un punto determinado (recuerde que un derivado dice algo acerca de la vecindad de un punto en una dirección determinada). El hecho de que usted no sólo puede acercarse al punto de lo puramente imaginario eje o el puramente eje real, pero desde todas las direcciones en entre impone ciertas condiciones sobre la función y por lo tanto la interdependencia entre las partes real e imaginaria. Todos estos derivados tienen que existir y que tienen que "suavemente" se funden en uno al otro - algo así como su lado derecho derivado y del lado izquierdo los derivados tienen que corresponder en análisis real de la función a ser considerado diferenciable en este punto.

En cierto modo, este concepto de "no importa de qué lado me acerco al punto de" TENENCIA PARA CADA PUNTO es un muy fuerte requisito para una función, lo que significa que si estos requisitos mantenga pulsado el botón (=función es compleja diferenciable) esto nos permite deducir sorprendentemente fuertes declaraciones acerca de las propiedades de dicha función.