Definición: Dejar $R, S$ dos anillos. Un clásico de morfismos $\phi : R \to S$ es una función de los elementos de la $R$ a los elementos de $S$, lo que restringe a un homomorphism (de los anillos, en el sentido usual de la palabra) en conmutativa subrings de $R$.
Esta definición está motivado por la mecánica cuántica; a grandes rasgos $\phi$ conserva lo clásico observador puede observar acerca de la no conmutativa espacios de $\text{Spec } R$$\text{Spec } S$. Ver la discusión en el nLab página en la Bohr topos. En realidad debería ser más parecido a esto:
Definición: Dejar $R, S$ dos $^\ast$-anillos. Un clásico de morfismos $\phi : R \to S$ es una función normal de los elementos de $R$ (elementos que $r^{\ast} r = r r^{\ast}$) a la normalidad elementos de $S$, lo que restringe a un $^{\ast}$-homomorphism en conmutativa $^{\ast}$-subrings de $R$.
Esta definición permite, entre otras cosas, un elegante declaración de la Kochen-Specker teorema, que puede ser reformulado como la afirmación de que si $H$ es un espacio de Hilbert de dimensión al menos $3$, entonces el álgebra $B(H)$ de los delimitada lineal de operadores de $H \to H$ no admitir un clásico de morfismos a $\mathbb{C}$.
Ha esta definición se ha estudiado desde una perspectiva puramente anillo de la teoría o de la geometría no conmutativa punto de vista? Tiene propiedades básicas de la categoría correspondiente que se haya trabajado en algún lugar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En un artículo reciente, me he adaptado algunos de los términos de Kochen y Specker del original en papel a un anillo más en la teoría de contexto. Me remito a tu primer tipo de morfismos como morfismos de parcial $\mathbb{Z}$-álgebras de$R$$S$, o mejor aún como una de morfismos de parcial de los anillos. El punto es que cada anillo tiene la estructura subyacente de un parcial de anillo (es decir, no es que las categorías de los anillos y parcial de los anillos, y olvidadizo functor de los anillos parcial de los anillos). Las funciones que usted está pensando acerca de los morfismos de la segunda categoría.
Respecto a su segunda definición, puede ser útil para que usted mire este papel de Benno van den Berg y Chris Heunen. Ellos definen la categoría de las C*-álgebras. Dada una C*-álgebra $A$, sólo se puede considerar $A$ a sí mismo como un parcial de C*-álgebra si $A$ es conmutativa. Pero el subconjunto $N(A)$ de lo normal de los elementos de $A$ es siempre parcial C*-álgebra, incluso si $A$ no es conmutativa. De hecho, "tomar la parte normal" forma un functor de la categoría de C*-álgebras a la categoría de las C*-álgebras.
Así que una manera limpia para adaptarse a todos los de estas ideas sería definir la categoría de "parcial *anillos" en lo obvio, de manera que el conjunto de $N(R)$ de lo normal de los elementos de cualquier *-ring $R$ es un parcial *-ring y para que las funciones que se describen anteriormente son exactamente los morfismos de parcial *-anillos de$N(R)$$N(S)$.
Heunen y van den Berg han trabajado algunas propiedades interesantes de la categoría de las C*-álgebras. Si usted necesita hechos concretos que de suyo parcial *-anillos, me imagino que muchos de sus resultados deben traducir fácilmente.
