Lo siento, no vi esto antes. Mi memoria es vaga, y probablemente de color por los acontecimientos posteriores y resultados, pero he aquí el recuerdo de las cosas que suceden.
Ya que yo había leído y disfrutado de Lazard del papel en una dimensión de grupo formal (leyes), donde se aborda el caso de un campo base de la característica $p$, me decidí a buscar en los grupos formales sobre $p$-ádico de los anillos. Por la razón que sea, yo quería saber sobre el endomorfismo anillos de estas cosas, y poco a poco reconoció la similitud entre, por un lado, el caso de curvas elípticas y sus supersingular reducción de mod $p$, cuando el fenómeno se produjo, y, por otro lado, los grupos formales sobre $p$-ádico entero anillos de mayor altura de $1$.
Yo había tomado, o sentado en el, Tate primer curso de Aritmética en Curvas Elípticas, y fue preparado para todo esto. Además, yo era consciente de Weierstrass de Preparación, y el poder que le dio a nadie que la utilizan. Y en el intento de demostrar un cierto resultado para mi tesis, yo había pensado en mirar a la torsión puntos en un grupo formal, y supongo que para mí era claro que formaron un módulo sobre el endomorfismo anillo. Por favor, tenga en cuenta que no era mi idea en absoluto el uso de ellos como una representación de un módulo para el grupo de Galois.
Pero Tate estaba mirando por encima de mi hombro en todo momento, y no hay duda que él vio todo tipo de cosas que yo no estaba teniendo en cuenta. En el momento de la presentación de mi tesis, yo no tenía una construcción de grupos formales de altura $h$ con endomorfismo anillo de $\mathfrak o$ igual a los números enteros de un campo local $k$ grado $h$ sobre $\Bbb Q_p$. Sólo para el unramified caso, y la he usado muy tedioso, grado por grado de métodos basados en técnicas de Lazard. Algún tiempo después de mi tesis, yo estaba en un autobús de Brunswick a Boston, y no sólo que podía construir grupos formales en todos los casos que ha tenido su máxima endomorfismo de la estructura, pero que uno de ellos podría tomar el polinomio de la forma $\pi x+x^q$. Tate me dijo que cuando vio esto, Todo Cayó En su Lugar. El resultado fue la maravillosa y hermosa primera Lema en nuestro papel, para que yo pueda reclamar absolutamente ninguna responsabilidad. Mi recuerdo, siempre inseguro, es que el resto del papel reunieron con bastante rapidez. Recuerde que Tate era ya un maestro de todos los aspectos del Campo de la Clase de Teoría. Pero si el endomorfismo anillo de su grupo formal es$\mathfrak o$, y la Tate módulo del grupo formal es un rango de-un módulo a través de este endomorfismo anillo, puede el isomorfismo entre el grupo de Galois de $k(F[p^\infty]])$ sobre $k$ y el subgrupo $\mathfrak o^*\subset k^*$ no te hacen pensar en la reciprocidad mapa?
