Operaciones lambda en grupos de esferas homotopicas estables

Question

El Barratt-Quillen-Priddy teorema dice en una interpretación que no es un débil equivalencia de los espectros $K(FinSet) \simeq \mathbb{S}^0$. En otras palabras K-teoría de grupos finitos conjuntos son estables homotopy grupos de esferas $\pi_*^s$.

Si $A$ es un anillo conmutativo, $K_0(A)$ tiene una definición sencilla como la libre abelian grupo de proyectiva finitely generadas $A$-módulos modulo exacta de las secuencias. En este grupo se utilice el exterior de las potencias $\Lambda^k$ para obtener llamado Lambda-operaciones de $\lambda^k$. Estos tienen buenas propiedades y uno las puede utilizar como alternativa a construir Adams operaciones de $\Psi^i$. Esta construcción puede ser extendido a todas las $K_n(A)$, dando $K_*(A)$ la estructura de una expresión Lambda-ring. Esto se puede encontrar en las secciones II.4 y IV.5 de Weibel del libro.

Hay una fuerte analogía entre finito de conjuntos y espacios vectoriales. Esto nos dice que un análogo de la potencia exterior $\Lambda^k$ está dado por la construcción que envía un conjunto finito $X$ para el conjunto de sus $k$-elemento subconjuntos ${X \choose k}$. Esto le da a la norma Lambda-estructura de anillo en $\mathbb{Z} = \pi_0^s$, es decir, el de la Wikipedia.

Parece que Weibel la construcción de la Lambda-operaciones en la mayor K-teoría de los grupos de obras en este contexto. Es esto correcto? Si es así, obtenemos $\lambda^i$ e $\Psi^i$ en el establo homotopy grupos de esferas. Lo que se sabe acerca de estos? Se han utilizado para cualquier cosa?

Answer 1

Usted puede refinar este. Tomemos $k=2$ para dar la idea. A un conjunto $X$ puede asociar $(X\wedge X)/X$, un conjunto con la acción libre de $\Sigma_2$. Esto conduce a una operación de estable homotopy de $S^0$ estable homotopy de $B\Sigma_2$, de tal manera que cuando seguido por la transferencia se da la diferencia entre la identidad y el cuadrado.

Esto conduce a una prueba de Kahn-Priddy Teorema, una prueba debido a Kahn y Priddy creo. (EDIT: No, yo creo que fue Segal.)

Waldhausen adaptado la misma idea de probar un resultado importante acerca de su $A(X)$, la "fuga de el misterio de la homología de la teoría". (Es por eso que yo sé acerca de ella). Esto implicó la ampliación de la construcción de estas operaciones desde el algebraicas $K$-teoría de conjuntos a la algebraicas $K$-teoría de los espacios.

Answer 2

La operación, que envía un conjunto finito $S$ para el conjunto de sus $k$-elemento subconjuntos, $\binom{S}{k}$, da lugar a la $k$-th estable invariante de Hopf. Hay una estructura adicional en esto: el conjunto de $\binom{S}{k}$ tiene una canónica $k$veces cubriendo por lo que la operación es mejor visto como un mapa $$ QS^0 \a P(B\Sigma_k)_+ $$ en lugar de como un mapa $$ Q S^0 \Q^0 , $$ donde por un espacio $X$, el espacio de $QX$ es $\Omega^\infty\Sigma^\infty X$ es la representación de un espacio para el estable homotopy de $X$, es decir, $\pi_j(QX) = \pi_j^{\text{st}}(X)$. Para que la operación induce un homomorphism $$ \pi_j^{\text{st}}(S^0) \a \pi_j^{\text{st}} (B\Sigma_k)_+) . $$

Estas operaciones satisfacen ciertos axiomas (Cartan Fórmula, la compatibilidad con las transferencias, etc.). Un buen lugar para leer acerca de estas operaciones es:

Segal, Graeme: Operaciones en estable homotopy teoría. Los nuevos desarrollos en la topología (Proc. Sympos. Topología algebraica, Oxford, 1972), pp 105-110. Londres Matemáticas Soc. Conferencia Nota De La Ser., Nº 11, Cambridge Univ. Press, Londres, 1974.

Answer 3

Querido sander

Quizás este documento de Pierre Guillot pueda ayudarlo: http://arxiv.org/abs/math/0612327