¿La función cuadrado de Delta está definida en alguna parte?

Question

Hola, a todos. Me pregunto si alguno sabe que si el cuadrado de la Delta de Dirac función está definida en algún lugar?

En un principio, esta pregunta puede parecer extraño. Pero restringiendo el espacio de las funciones de prueba, creo que aún es posible. Por ejemplo, con el fin de hacer sentido de $\delta_0^2$, podemos pensar que es el límite de $\frac{e^{-x^2/t}}{2\pi t}$ as $t\rightarrow 0_+$. Ahora elija la función de prueba de $f(x)=x^2$. Es claro que $$ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{e^{-x^2/t}}{2\pi t} d x = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \frac{e^{-x^2/t}}{\sqrt{\pi t}} d x = \frac{1}{2\sqrt{\pi t}} \cdot \frac{t}{2} = \frac{\sqrt{t}}{4\sqrt{\pi}}\;. $$ A continuación, vamos a $t$ tienden a $0$, obtenemos $<\delta_0^2,f>=0$ en este caso. Por lo que se puede restringir, por ejemplo, todas las funciones de prueba tienden a 0 a la velocidad de no menos de $x^2$.

No quiero inventar todo el asunto, si ya existe. De lo contrario, podría tomar el cuidado de todos los detalles. Gracias de antemano por las sugerencias.

EDITAR: Aquí son algunas de las referencias que he encontrado para ser útil. 1: Mikusiński, J. En la plaza de la delta de Dirac-distribución. (Ruso resumen) Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. De matemáticas. Astronom. Phys. 14 1966 511-513. 44.40 (46.40)

2:Ta Ngoc Tri, El Colombeau teoría de las funciones generales de tesis de Maestría, 2005

Answer 1

Cuando L. Schwartz, "inventado" distribuciones (en realidad, él sólo se inventó la teoría matemática como parte de un análisis funcional, porque las distribuciones ya era usada por los físicos), demostró por cierto que es imposible definir un producto de tal manera que las distribuciones de forma un álgebra con aceptables propiedades topológicas. Lo que si es posible definir el producto de las distribuciones cuando su frente de onda que se establece no cumplen. Esta es la razón por la $fT$ tiene sentido si $T$ es una distribución y $f$ es $C^\infty$, por ejemplo, debido a que la parte frontal de los $f$ es nula. Pero también se puede multiplicar esa manera genuina las distribuciones, por ejemplo, en $\mathbb R^2$, $\delta_{x=0}=\delta_{x_1=0}\delta_{x_2=0}$.

J.-F. Colombeau inventado en los años 70 un álgebra de funciones generales, que tiene algo que ver con las distribuciones. Pero cada distribución tiene infinitamente muchos representantes en el álgebra, y usted tiene que jugar con la igualdad y los puntos débiles de la igualdad" (o la "asociación"). No sé de un ejemplo donde esta herramienta resuelto un problema abierto. En Colombeau del álgebra, el cuadrado de $\delta_0$ tiene sentido, pero es altamente no único.

Answer 2

$\delta_0$ desaparece de manera idéntica en el espacio de funciones de prueba que ha definido. Por lo tanto, no es sorprendente que su cuadrado esté bien definido:$0\cdot 0 = 0$.

Sospecho que será mucho más difícil definir$\delta_0^2$ en las funciones de prueba que no desaparecen en$0$.

Answer 3

Existen teorías en el análisis microlocal que lidiar con los problemas de aquí, creo. Algunas heurísticas que el "singular apoyo" de una distribución de los controles de lo que puede ser multiplicado por un ingenuo sentido (distribuciones con un discontinuo singular de apoyo). Así que el cuadrado de la función delta es la primera mala caso - sea cual sea el singular medio de soporte, debe ser el conjunto que contiene 0 de la función delta. Necesita más heurística.

Una idea es que una dimensión puede ser demasiado pocos para mostrar la imagen real. "Microlocal" tiende a significar la localización en (co)las direcciones tangencial, y una dimensión ofrece sólo dos. Hyperfunctions en el caso de una dimensión a hacer algo de esto y teniendo en cuenta la línea real como el límite de la mitad superior del plano complejo. I. e, no es el mismo como hacia abajo. Los valores de límite de funciones de holomorphic en la mitad superior del plano tiene un candidato para la función delta analógica: tomar 1/z. No hay problema de cuadratura que. Más de un problema en decir lo que esta analogía significa que vale algo. Mikio Sato hizo. Ahora voy a estar tranquila, porque esta es, probablemente, ya bastante mal.

Answer 4

Me gustaría señalar que varios de los conceptos mencionados aquí se explican en el nLab:

multiplicación de distribuciones ,

mientras faltan varios y las partes del análisis microlocal y las hiperfunciones podrían necesitar alguna ayuda.

Answer 5

La medida en que la multiplicación de las distribuciones se define, que fue examinado por Richards y Youn y algunos de los resultados son en su corta y bastante elemental conjunta de libros sobre las distribuciones. Uno puede multiplicar algo bastante exótico como la tercera derivada de la función delta por un muy buen comportamiento de la función; que todo el mundo sabe. Pero creo que había un resultado que como un factor que se vuelve progresivamente menos bien el comportamiento de los otros debe ser más bien se comportó con el fin de hacer posible la multiplicación. No recuerdo los detalles. Pero estoy bastante seguro de que lo suyo no es la última palabra sobre el tema.