¿Cómo cuantificar la no conmutatividad?

Question

Si tengo dos operadores o finito-dimensional matrices $A$ e $B$, ¿cómo puedo cuantificar la cantidad a la que viajan o no ir a trabajar? (Yo consideraría que es un gran plus si es computable fácilmente para finito de valores complejos matrices $A, B \in \mathbb C^{n\times n}$.)

Permítanme tratar la cosa obvia aquí: por definición, los si $A$ e $B$ conmuta, entonces el colector $[A, B] = AB-BA = 0$. Ingenuamente podría utilizar algún tipo de funcional como un operador de la norma para reducir esto a una cantidad que podría comportarse como una métrica. La primera cosa que pensé fue el rastro, pero claramente eso no funciona desde $\mathrm{tr } [A, B] =\mathrm{tr } (AB-BA) = \mathrm{tr }AB - \mathrm{tr }AB = 0$ siempre. Uno podría, a continuación, gire a, digamos, la norma de Frobenius de $[A, B]$. Lo que se sabe acerca de la máxima (o supremal) el valor de tales normas?

Hay cuantificadores de noncommutativity que también pueden dar cuenta de un orden más elevado de efectos, por ejemplo, los casos donde $[A, B] \ne 0$ pero $[A, [A,B]] = 0$? Este debe ser "menos" no los desplazamientos de si $[A, B] \ne 0$ e $[A, [A,B]] \ne 0$ e $[B, [A,B]] \ne 0$ pero, digamos, $[A, [B, [A, B]]] = 0$.

Para aquellos que prefieren un libre configuración algebraica, la pregunta puede ser enmarcado como: qué tan libre es un álgebra? Es allí una manera sensible para medir la proximidad a un álgebra? Lo que si tuve un álgebra de donde $AB=BA$ es la única relación que hace que no sea una libre álgebra; hay un sentido es "menos libre" o "más libre" que un álgebra de donde $ABABAB=BAA$ es la única relación, por ejemplo.

Motivación: se dice a veces que la libertad de probabilidad es el estudio de "la máxima" no-desplazamientos de los objetos. Me gustaría saber si esta declaración puede ser hecha precisa en el sentido de cómo se puede definir el "máximo no commuting", en una medida razonable de la moda.

Answer 1

Una forma común para cuantificar la no-conmutatividad que es especialmente popular en el álgebra de operadores de la teoría y la geometría no conmutativa es el uso de la Schatten normas. Dado un operador acotado $T$ sobre un espacio de Hilbert separable $H$ uno define el Schatten $p$norma $||T||_p$ (para $p \geq 1$) de $T$ a ser la huella del operador $|T|^p$ definido mediante el cálculo funcional. Más explícitamente, si el operador $\sqrt{T^*T}$ ha contables espectro (una condición necesaria para $||T||_p$ finita), a continuación,

$$||T||_p^p = \sum_n \lambda_n^p$$

donde la suma se toma sobre el espectro de $\sqrt{T^*T}$. En particular, el caso de $p = 1$ corresponde a la traza de la norma y $p = 2$ corresponde a la de Hilbert-Schmidt norma.

En el finito dimensionales caso de que el Schatten normas son, por supuesto, todos finito, pero en el infinito dimensional caso es útil para medir la no-conmutatividad de los dos operadores $A$ e $B$ mediante el cálculo del valor mínimo de $p$ tal que $||[A,B]||_p < \infty$. Por ejemplo, uno puede medir la regularidad de una función en un colector pidiendo que las clases de Schatten su conmutadores con elegir adecuadamente (pseudo)los operadores diferenciales pertenecen. Esta es la base de Connes la idea de un no-conmutativa colector.

También tenga en cuenta que cada Schatten clase de operador es compacto, y para muchos propósitos es útil para reemplazar la condición de que dos operadores conmutan con la condición de que su colector es compacto. Por supuesto, esta noción particular no tiene finito dimensionales analógica.

Answer 2

De EDICIÓN (véase la actualización de la parte (d) a continuación).

A continuación están algunas de las respuestas a las subpartes de toda la cuestión.

a). "...Lo que se conoce acerca de la máxima (o supremal) el valor de tales normas?"

Es sabido que la norma de Frobenius $\| [A,B] \|_F \le \sqrt{2}\| A \|_F\|B\|_F$, y esta enlazado es apretado. De manera más general, Wenzel y Audenaert (Impresiones de convexidad \begin{equation*} S(A,K) := \frac{1}{2}\mbox{trace}[A^{1/2},K]^2. \endUna ilustración para el conmutador de límites, de matemáticas.FA-1004.2700v1) demostrar colector de los límites para la Schatten normas. Estos límites asumir la forma

$$ \| AB-BA\|_p \le C_{p,q,r} \|A\|_q\|B\|_r, $$

donde $\|X\|_p$ denota la Schatten-p norma. Por otra parte, Wenzel y Audenaert establecer la más ajustada posible de valores para la constante de $C_{p,q,r}$.

Para bajar los límites, y mucho menos se sabe. Ver este popular MO pregunta para los punteros.

b). "Hay cuantificadores de noncommutativity que también pueden dar cuenta de un orden más elevado efectos?"

Aquí, usted podría volver a invocar repetidamente por encima de la norma en base conmutador de límites. Más interesante, se podría comprobar cómo muchos de los "grandes" de los términos que hay en el correspondiente Baker-Campbell-Hausdorrf de la serie (aunque esto suena como exagerar para mí)

c). "Al máximo no conmutativa": Aquí, una forma de caracterizar al máximo no conmutativa matrices sería encontrar ejemplos que hacen que el colector de la norma por encima de la desigualdad en una igualdad. Para explícita construcciones, por favor, véase el artículo citado de Wenzel y Audenaert.

d). "otras formas de cuantificar noncommutativity?" --- este es abierta, pero, otra forma de cuantificar nc podría ser para ver cómo muchos de los "bits de información" son necesarios para codificar la diferencia de $AB-BA$. Este tipo de "información de la complejidad" la medida podría no ser tan fácil, que precisa de aunque.

EDIT: Si se restringe la clase de los operadores / matrices de interés, a continuación, más interesante medidas de noncommutativity son posibles, incluyendo aquellos con una interpretación física. Los ejemplos más notables provienen de la teoría de información cuántica, donde las medidas de noncommutativity han sido de interés para muy de largo. Aquí, en lugar de arbitrarias matrices complejas, un indicador denominado sesgo de la entropía se ha utilizado para cuantificar noncommutativity positiva de un operador $A$ con respecto a un fijo de Hermitian operador $K$ (ver [1] para más detalles). Este se define como, \begin{equation*} S_t(A,K) := \frac{1}{2}\mbox{trace}[A^t,K][A^{1-t},K],\quad 0 < t < 1. \end{ecuación*} La cantidad anterior se introdujo por Wigner y Yanase, y se generalizó más tarde por Dyson a -#-#-{ecuación*} (La segunda medida es también interesante por el hecho de que la concavidad (en $A$ fue conjeturado por Dyson, y ha demostrado como una consecuencia de la famosa Lieb teorema de concavidad).

Referencias

[1]: Positiva definida matrices. R. Bhatia. Princeton University Press. 2007.

Answer 3

Eche un vistazo a este artículo:

http://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=8&ved=0CHEQFjAH&url=http%3A%2F%2Fciteseerx.ist.psu.edu%2Fviewdoc%2Fdownload%3Fdoi%3D10.1.1.54.7075%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf&ei=_1mtT8vHDI-1hAf3kJifDA&usg=AFQjCNG4ku3ERsScCZe9qdfYhT5mYGcaZA

Una manera de medir la conmutatividad defecto,como se discutió en el papel es por el rango de $[A,B]$. Si $rank([A,B])=1$, $A,B$ se llama Laffey par.

Este enfoque se basa en el hecho de que los desplazamientos matrices tienen un simultánea triangularization. Ver también los Desplazamientos de las Matrices y de los Débiles Nullstellensatz.

Answer 4

No me imagino lo que voy a escribir a continuación no tiene nada que ver con la libre probabilidad, pero esboza una expresión algebraica enfoque a lo largo de las líneas de su tercer y cuarto párrafo. Es decir, te sugiero buscar en el trabajo de Kapranov, y Feigin y Shoikhet:

No conmutativa de la geometría basada en el colector expansiones, http://arxiv.org/abs/math/9802041

En $[A,A]/[A,[A,A]]$ y en $W_n$-acción en el consecutivo de los conmutadores de libre álgebra asociativa http://arxiv.org/abs/math/0610410

y varios papeles de seguimiento con el término "inferior central de la serie", ya sea en el título o en el resumen. La idea es que hay una variedad natural de filtraciones en cualquier álgebra que captura precisamente esta idea de que los operadores no conmutan, pero pueden tener identidades de la participación de la mayor conmutadores de que son una especie de debilitamiento del conmutatividad.

Un puro ejemplo de esto es debido a Feigin-Shoikhet y dice que el álgebra de incluso el grado diferencial de las formas en $\mathbb{C}^n$ (equipado con una cierta forma cuantificada) es el universal cociente de la libre álgebra $A_n$ a $n$ generadores que $[a,[b,c]]=0$ para todos los $a,b,c \in A_n$ (sino $[a,b]\neq 0$ en general). Que tal cociente de la libre álgebra le da algo tan directamente relacionados con el álgebra conmutativa (y, en particular, exhibiendo polinomio de crecimiento en el grado) es bastante interesante. En particular, el caso que se pregunta es al $n=2$, y el álgebra de funciones y de dos formas, con producto de la $f\ast g = fg + df\wedge dg$.

Una respuesta a la 4, es que uno puede definir un local libre de álgebra para ser un álgebra $A$, de tal manera que la finalización de $A$ en el ascensor de $A_{ab}$ de todo ideal maximal es libre. Por ejemplo, el álgebra $A_3 / <x^2+y^2+z^2-1>$ es localmente libre de rango dos, aunque no es gratis, porque uno puede fácilmente demostrar que sus terminaciones en

$<(x-x_0),(y-y_0),(z-z_0)>$

es un (concluido) gratuito álgebra en dos generadores de $(x_0,y_0,z_0)$ satisfactorio de la definición de la ecuación. Estos (no solo de este ejemplo, pero esta clase de localmente libre de álgebras) se comportan de manera similar a la libre álgebras, y se mostró por Etingof que su universal del cociente por el triple de los conmutadores como en el párrafo anterior es de nuevo (cuantización de) incluso-grado diferencial de las formas (pero ahora en la correspondiente variedad).

Answer 5

Siempre he querido explorar algunas cantidades de la siguiente clase, pero no han tenido el tiempo para hacerlo. Particularmente, me gustaría ver si hay alguna conexión con conexión entropía dimensión, porque con matrices podemos considerar los volúmenes reales de conjuntos). La siguiente no forma concluyente responde a la pregunta, pero puede proporcionar un poco de alimento para el pensamiento. Por el bien de la simplicidad, supongamos que estamos tratando de medir el "cómo" libre de un finitely generado grupo $G$ es. Supongamos que estamos trabajando con una contables grupo generado por un conjunto finito $F$ (para obtener el total de la medición tendríamos que tomar un supremum sobre todo finito de los grupos electrógenos. Definir una métrica en $G$ as $d(g,h)=$de la longitud de $g^{-1}h$ con respecto a la F.

La idea es pensar en el grupo como análoga a la de un colector y considerar algo más o menos análoga a la "volumen de la entropía" alrededor de un punto dado (elemento del grupo). Por ejemplo, alrededor de $g_{0}\in G$ e $\eta \geq 0$ se podría considerar la cantidad de $$V(g_{0},F,\eta):=lim_{R\rightarrow \infty}\frac{| \lbrace h\in G:d([g_{0},h],e)\leq \eta,\ d(g_{0},h)\leq R\rbrace|}{|B_{d}(g_{0},R)| \} $$

Aquí, $B_{d}(g_{0},R)$ denota, por supuesto, la bola de radio $R$ todo $g_0$ y el valor absoluto de barras de indicar la cardinalidad. Luego uno se llevaría el supremum sobre todas las $g_{0} \in G$, para obtener algo global.

Tenga en cuenta que si uno deja $\eta=0$, uno es la medición de la asintótica de crecimiento de la fracción de elementos que conmutan con $g_0$.

Aproximadamente, que mide el crecimiento asintótico de la fracción de palabras con el control del colector con una palabra dada. Es claro que la cantidad no puede hacer un muy buen trabajo en la medición de la distancia desde el grupo libre (parece que puede fallar por un relator del grupo...ya que sólo considera asintótica de crecimiento), pero tal vez puede ser útil modificado. Gracias por una muy buena pregunta!