¿Existe un método sistemático para diferenciar bajo el signo integral?

Question

Este MO pregunta por Tim Gowers me recuerda a una pregunta que me he preguntado durante algún tiempo. En el libro delicioso seguro Que estás Bromeando, Señor Feynman!, Feynman alaba la técnica de diferenciación bajo el signo integral (un.k.una. el Leibniz integral de la regla):

Cuando los chicos del MIT o de Princeton tenido problemas para hacer una cierta integral, fue porque no podía hacerlo con los métodos estándar que habían aprendido en la escuela. Si era el contorno de integración, se habría encontrado; si se trataba de una simple expansión de la serie, se habría encontrado. Entonces yo venga y pruebe la diferenciación bajo el signo integral, y a menudo se trabajó. Así que me dieron una gran fama para hacer integrales, sólo porque mi caja de herramientas fue diferente de todos los demás, y que había intentado todas sus herramientas antes de dar el problema para mí.

Algunos ejemplos de este truco se proporcionan en la página de la Wikipedia que he enlazado más arriba. Lo que me pregunto es si hay un sistemático modo de atacar las integrales a través de la introducción de un parámetro extra y la aplicación de la Leibniz integral de la regla. Por "sistemática", me refiero a algo que podría ser incorporado en el simbólico algoritmos de integración de un equipo de paquetes de álgebra.

La cosa más cercana que he encontrado en la literatura es el papel de "El Método de Diferenciación bajo el Signo Integral," por Gert Almkvist y Doron Zeilberger, J. Cálculo Simbólico de 10 (1990), 571-591, que desarrolla un algoritmo para la búsqueda de una ecuación diferencial satisfecho por la integral $$R(x) = \int_{-\infty}^\infty F(x,y)\ dy$$ when $F(x,y)$ es holonomic. Sin embargo, normalmente, el paso crítico en la evaluación de una integral "Feynman" es de averiguar cómo introducir un parámetro adicional en el camino correcto, y el Almkvist–Zeilberger papel no proporcionar una sistemática algoritmo para este paso.

La Wikipedia ejemplos me parecen ad hoc, por lo que la cuestión que estoy planteando a MO lectores es que, ¿sabe usted de cualquier heurística para la introducción de parámetros adicionales en las integrales, que podría servir de punto de partida para un algoritmo general? Cualquier cosa que ayuda a eliminar el negro de la magia o de conejo-fuera-de-un-hat aura de la introducción de parámetros extra sería bienvenido.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, por supuesto, pero un ejemplo que no me vea en la página de la wiki y que es algo paradigmático, ya que constituye la base sobre la que Feynman ruta integral en la práctica se utiliza con el fin de calcular las funciones de correlación, es agregar un término lineal a una gaussiana integral (conocido como una fuente cuántica-el campo teórico-lingo): $$ I(\alpha):= \int_{\mathbb{R}} e^{-\frac12 x^2 + \alpha x} dx $$ y de esta manera, mediante la diferenciación con respecto a $\alpha$, calcular la expectativa de valor de cualquier polinomio (o incluso analítica) de la función de $x$. Uno podría hacer esto, en principio, para cualquier distribución, pero el encanto de la gaussiana es que la integral puede evaluarse exactamente: $$I(\alpha) = \sqrt{2\pi}\ e^{\frac12 \alpha^2}$$ Esto requiere completar el cuadrado y el uso de la traducción de la invariancia de la medida $dx$.

De hecho, este es uno de los supuestos fundamentales de la teoría cuántica de campos: a saber, que la ruta integral "medida", sin embargo se define, mejor que ser invariantes bajo las "traducciones".

Answer 2

Incluso esto no abordar el problema original de la diferenciación de bajo el signo integral, hay una parte buena manera de dar a calcular el bucle integrales asociados a los diagramas de Feynman. Es difícil describir la estrategia, llamada por los autores del método de soportes, por lo tanto me refiero a la original en papel

I. González, V. H. Moll, y A. Straub, El método de los soportes. Parte 2: ejemplos y aplicaciones, Contemp. De matemáticas. 517 (2010), 157-171. doi:10.1090/comisión/517/10139, arXiv:1004.2062 (pdf)

Permítanme citar el corto de la sección de "Conclusiones y trabajo futuro" en el papel:

El método de soportes proporciona un procedimiento muy eficaz para evaluar definitiva las integrales en el intervalo de $[0,\infty)$. El método se basa en una heurística lista de reglas en el soporte de la serie asociados a dichas integrales. En particular, una variedad de ejemplos que ilustran el poder de este método ha sido siempre. Una rigurosa validación de estas normas, así como un estudio sistemático de las integrales de Feynman diagramas es en progreso.

Answer 3

"Diseñe una técnica de este tipo que evalúe con éxito alguna clase de integrales definidas que no sea evaluable por otras técnicas conocidas (como las implementadas en los paquetes de álgebra computacional existentes)".

Espera, ¿qué pasa con el algoritmo de Risch?

http://en.wikipedia.org/wiki/Risch_algorithm