En teoría de nudos: ¿Beneficios de trabajar en$S^3$ en lugar de$\mathbb{R}^3$?

Question

En varios libros de texto sobre el nudo de la teoría (por ejemplo, Lickorish, de Rolfsen s) nudos se consideran en $\mathbb{R}^3$ o $S^3$. La razón para trabajar en $S^3$ a veces se administra al principio de un texto, mientras que el $S^3=\mathbb{R}^3\cup \{\infty\}$ es compacto, por lo que el trabajo no es "más conveniente".

¿Cuáles son algunos de los beneficios específicos o comodidades para trabajar en $S^3$ en lugar de $\mathbb{R}^3$?

Yo podría pensar en un ejemplo: En el nudo de la teoría trabajamos en tramos lineales categoría, por lo que el trabajo en $S^3$ permite considerar finito triangulaciones de nudo complementa.

Otro ejemplo es en el estudio de achirality, donde Smith la teoría de puntos fijos de periódico mapas sobre la esfera se utiliza.

Además, algunos de los resultados en estos libros de texto son indicados para los nudos en $\mathbb{R}^3$ o $S^3$, pero algunos otros resultados se indican sólo para los nudos en la $S^3$.

Hay resultados que son correctos para los nudos en la $S^3$, pero no para los nudos en la $\mathbb{R}^3$?

Answer 1

Los grupos de homotopía más altos del complemento de un nudo en$S^3$ son todos triviales. Esto no es cierto para un nudo en$\mathbb{R}^3$ (considere una esfera$2$ que encierra la imagen del nudo).

Answer 2

Recordemos que el espacio de nudos $\mathcal K(M)$ en un 3-colector $M$ es el espacio de incrustaciones $S^1 \hookrightarrow M$ (uno debe pensar un poco a topologize este espacio útil). Es habitual conocer la teoría es que se trate con el estudio de $\pi_0(\mathcal K(M))$ - su conjunto de componentes conectados - porque ya que es interesante. Pero a partir de una topologist punto de vista, uno debe estar también interesado en la mayor homotopy grupos. Luego, a pesar de $\pi_0(\mathcal K(\mathbb R^3)) = \pi_0 (\mathcal K(S^3))$, debido a que ninguna de las clases en $\pi_0$ e $\pi_1$ puede ser arreglada para evitar el punto de $S^3 \smallsetminus \mathbb R^3$, no es cierto que la mayor homotopy grupos son los mismos. (Usted ya sabe esto: que $\pi_3(S^3) > 0$ significa que $\pi_2(\mathcal K(S^3)) > \pi_2(\mathcal K(\mathbb R^3))$.

No es sólo la topologists que están interesados en estas altas homotopies <editar>, que están relacionados con el </editar> superior bordisms. Los físicos, cuya teoría cuántica de campos se conecta con el nudo de la teoría en un número de maneras, también están interesados, en los programas que van por nombres como "categorification" y "teoría de cuerdas". Por ejemplo, no hace mucho Witten lanzó su papel de proponer una interpretación física para Khovanov de homología.

En realidad, el papel es interesante que ilustra mi punto anterior. Es decir, Witten debe cambiar entre los $S^3$ e $\mathbb R^3$ un par de veces. $S^3$, es compacto, es mucho mejor para la definición de ciertas integrales. Por otro lado, $\mathbb R^3$ tiene su traducción invariante en el encuadre, y ya que muchos cuántica de campos teóricos invariantes son encuadre dependiente, es importante que usted utilice la traducción-invariante de los marcos (que no se extiende a $S^3$) o alguna otra.

Answer 3

Aquí hay una manera de decirlo directamente en el lenguaje de tres múltiples. Según el teorema de Alexander, tanto$R^3$ como$S^3$ son irreductibles. Sin embargo, como Mark indica, un complemento de nudo en$R^3$ es reducible. De hecho, un complemento de nudo en$R^3$ se descompone como la suma de conexión de una copia de$R^3$ y ... el complemento de nudo en $ S ^ 3, que es irreducible.

Answer 4

Uno puede pasar libremente a partir de $S^3$ a $\mathbb R^3$ sólo mediante la adición/eliminación de un punto; sin embargo $S^3$ es mejor cuando se usa en 3 dimensiones de la topología de las técnicas, en particular la geometrización.

Por ejemplo, el complemento de un "genérico" (en algún sentido) nudo en $S^3$ debe admitir una hiperbólica completa de métricas de volumen finito, en cuyo caso se denomina un hiperbólico nudo. Esa medida es único por (una versión de Mostow teorema de rigidez y, por tanto, una rígida bonito objeto geométrico asignado al nodo. La topología del nudo complementar determina el nudo por Gordon-Luecke teorema, por tanto, un objeto rígido en realidad es todo lo que usted necesita para determinar el nudo. El virus de Epstein-Penner la descomposición es un proceso canónico de la combinatoria de descomposición del complemento de un hiperbólico nudo (en ideal poliedros), el cual puede ser utilizado para determinar algorítmicamente si dos hiperbólico de los nudos son isotópicas o no.

El uso de todos estos muy potente teoremas geométricos y técnicas que usted necesita para buscar en el nudo complemento en $S^3$, no en $\mathbb R^3$. Un nudo se complementan en $\mathbb R^3$ no tiene ningún hiperbólica completa de métricas de volumen finito.

Answer 5

En el mismo espíritu que la respuesta de Bruno (que se centra en la geometría hiperbólica), permítanme mencionar un resultado puramente topológico. Mediante el teorema de Lickorish-Wallace , se puede obtener cada 3-manifold cerrado y orientable utilizando la cirugía Dehn en un enlace en$S^3$. Este resultado es central en el estudio de 3 múltiples, y simplemente no es cierto si solo se consideran nudos en$R^3$.