Producto de nilpotent matrices.

Question

Deje $A$ $B$ $n \times n$ matrices complejas y

deje $[A,B] = AB - BA$.

Pregunta: Si $A , B$ $[A,B]$ son todos nilpotent matrices,

es necesariamente cierto que $\operatorname{trace}(AB) = 0$?

Si,de hecho, $[A,B] = 0$, entonces podemos tomar $A$ $B$ a ser estrictamente triangular superior matrices de modo que la respuesta sería sí, en este caso muy especial.

Answer 1

La respuesta es no.

Tomar $A=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$, $B=XAX^{-1} = \left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1\end{array}\right)$, donde elegimos $X=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)$.

A continuación, $[A,B]= \left(\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{array}\right)$ es nilpotent, pero tenemos $AB=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$$\operatorname{trace}(AB)=-1\not=0$.

Answer 2

No. Mientras que la conjetura es verdadera para $n=2$ y equipo experimentos sugieren que también puede ser cierto para $n=3$, contraejemplos son abundantes al $n=4$. Deje $A$ $4\times4$ Jordania bloque. El siguiente $B$s son algunas de equipo al azar generado por contraejemplos que satisfacen la condición $B^4=(AB-BA)^4=0$ pero $\mathrm{trace}(AB)\neq0$. \begin{align*} \pmatrix{0&0&0&0\\ 0&1&1&0\\ -1&-1&-1&0\\ 1&0&0&0}, &\pmatrix{ 4& -4& 4& -6\\ 2& -2& 2& -3\\ 14&-14& 14&-13\\ 16&-16& 16&-16 },\\ \\ \pmatrix{ 1& 1& 1& 2\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 2& 1& 2\\ -1& -2& -1& -2\\ }, &\pmatrix{ -1& -1& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ }. \end{align*}