Significado / origen de las ecuaciones / invariantes de Seiberg-Witten

Question

Después de haber visto y "entender" (las comillas es necesario) el Seiberg-Witten ecuaciones en un cerrado orientado de Riemann 4-colector $X$, I no tienen una comprensión real de dónde venían.
Tomamos un marco ortogonal bundle $P$ de % de$TX$, a $\textrm{spin}^\mathbb{C}$ estructura $\tilde{P}$ con factor determinante de la línea de paquete de $\mathcal{L}$, el complejo de $\pm$ spin paquetes de $S^\pm(\tilde{P})$ asociado a $\tilde{P}$, un unitario de conexión de $A$ a $\mathcal{L}$, y luego BAM:
$F_A^+=\psi\otimes\psi^*-\frac{1}{2}|\psi|^2$
$D_A\psi=0$
para un spinor $\psi\in C^\infty(S^+(\tilde{P}))$. A partir de aquí podemos considerar el espacio de soluciones (monopolos) y hacer algunas Floer teoría cosas y otras cosas.

Sólo he leído que estas ecuaciones provienen de Witten famoso artículo Monopolos y 4-Variedades (junto con otros dos de articulación con Seiberg)... sin embargo, si no me equivoco, él, simplemente, escribe y comienza argumentando por su similitud/dualidad de la teoría de Donaldson (con instanton soluciones). Yo, a continuación, tratar de ir a la referencia de Donaldson, que no parecen sugerir la forma en que el SW ecuaciones llegado (ni puedo incluso ver realmente cómo la instantons venir). Aunque he estudiado física durante un largo tiempo, me parece justo hacer malabares en torno a estos papeles, sin encontrar nunca un natural "florecimiento" de la SW ecuaciones.

Incluso si es en el lenguaje de la Teoría de las cuerdas, me gustaría saber la historia general / comprensión de la "floración" de SW ecuaciones, y cómo exactamente se "doble" para la instanton-escenario de Donaldson, tal vez incluso para el "florecimiento" de estos instantons. (Por ejemplo, no veo a un conjunto de ecuaciones para instantons). Este post no puede ser expresado en su forma más clara, pero voy a intentar mi mejor esfuerzo para hacer las modificaciones correspondientes.

Answer 1

Después de pensar, y la lectura de otras referencias y re-lectura de los papeles que he mencionado, yo podría haber encontrado una explicación suficiente (al menos a mi cuidado): Tanto instantons/los monopolos son soluciones a las correspondientes ecuaciones de movimientos de acciones asociadas, y que "bloom" de un marco de SUSY acción.

Witten formulado "twisted N=2 Supersimétrica de Yang-Mills", un TQFT con SUSY (supersimetría), lo que conduce a los invariantes de Donaldson. Este utiliza un $SU(2)$-paquete de más de $X$ junto con un medidor de campo (conexión de $\omega$) de la materia y de los campos (bosonic $\phi,\lambda$ y fermionic $\eta,\psi,\zeta$), y dio la Donaldson-Witten acción funcional $S_{DW}=\int_Xtr(\mathcal{L})$,
$\mathcal{L}=\frac{1}{4}F_\omega\wedge(\ast F_\omega+F_\omega)-\frac{1}{2}\zeta\wedge[\zeta,\phi]+id^\omega\psi\wedge\zeta-2i[\psi,\ast\psi]\lambda+i\phi d^\omega{\ast d^\omega}\lambda-\psi\wedge\ast d^\omega\eta$.
Este tiene la función de partición asociada $Z_{DW}=\int e^{-S_{DW}/g^2}D\Phi$ (aquí se $\Phi$ denota el espacio de los campos antes mencionados), donde $g$ es una constante de acoplamiento que es la clave aquí para responder a nuestra pregunta. El "florecimiento" de esta acción funcional está más allá del alcance de mis intenciones y, probablemente, de MathOverflow, así que no voy a cuestionar.

En el acoplamiento débil ($g\rightarrow 0$, conocido por los físicos como la región ultravioleta), la acción se localiza en la clásica de Yang-Mills $S_{YM}=\int_Xtr(F_\omega\wedge\ast F_\omega)$ y tienen las ecuaciones de movimiento $d^\omega\ast F_\omega=0$. El global de los mínimos de soluciones de $F_\omega=\pm\ast F_\omega$ (como Oliver aclara en un comentario). Estas soluciones son las Donaldson instantons.

Ahora, al parecer, cuando que en lugar de mirar al fuerte acoplamiento ($g\rightarrow\infty$, conocido por los físicos como la radiación infrarroja de la región), el Seiberg-Witten ecuaciones deben surgir (una "dualidad" en Witten del TQFT). De hecho, Seiberg y Witten mostró que esta infrarrojos límite de la teoría anterior es equivalente a una débilmente acoplados $U(1)$-teoría de gauge (la $SU(2)$-grupo gauge es espontáneamente rotos hasta el máximo de toro). Quizás aquí es donde una mejor comprensión sería deseable (palabras de moda 'libertad asintótica" y "ruptura de simetría" aparecen).
De todos modos, algo de física-técnica de cosas sucede (el párrafo anterior puede ser descrito como "la condensación de los monopolos"), y debemos considerar un spin-c estructura (que todos nuestros orientadas a 4-variedades que tienen, mientras que un giro de la estructura no nos permitiría considerar todos 4-variedades); tenga en cuenta que $Spin^c(4)=(SU(2)\times SU(2))\times_{\mathbb{Z}_2} U(1)$. Esto le da a los datos: $U(1)$-medidor de campo $A$ y positiva spinor campo $\psi$ (como está escrito en el post original). El par $(A,\psi)$ es un monopolo cuando se minimiza una acción $S_{SW}$, es decir, son independientes del tiempo las soluciones de las ecuaciones de los movimientos (la Seiberg-Witten ecuaciones). La acción aquí es $S_{SW}=\int_X(|d^A\psi|^2+|F_A^+|^2+\frac{R}{4}|\psi|^2+\frac{1}{8}|\psi|^4)$, con el escalar de curvatura $R$.

Espero que este post no es demasiado confuso.

[[Editar/Actualizar]]: yo sólo vine a través de un capítulo de un libro por Siye Wu, La Geometría y la Física de Seiberg-Witten Ecuaciones. Estas conferencias decir el origen físico completo! (es decir, completamente detalles de mi boceto). El SW de ecuaciones y de acción funcional aparece en pg191. http://www.springerlink.com/content/q37322037j466218/

Answer 2

Prueba este papel

Dualidad electromagnética, condensación monopolar y confinamiento en N = 2 teoría supersimétrica de Yang-Mills