Carreras de números primos en 2 dimensiones

Question

¿Es la cartografía $$f: \ \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Z}[i], \ \ \ n \ \mapsto \sum_{2 < p \leq n \ {\rm prime}} e^{\frac{p-1}{4} \pi i}$$ ¿subjetivo?

En 1999, cuando era estudiante universitario, pensé en escribir la tesis de licenciatura sobre este problema. Se lo pregunté a Jörg Brüdern, y lo que me dijo fue Brüdern, y lo que me dijo fue, en esencia, que podía hacerlo y obtener resultados parciales, pero que lo más probable es que la respuesta estuviera fuera de mi alcance. Decidí especializarme en teoría de grupos.

¿Es posible hoy en día decir algo más sobre esta cuestión?

Trazados de las imágenes de los intervalos $\{1, \dots, \lfloor e^k \rfloor\}$ para $k \in \{11, \dots, 26\}$ al mismo tamaño tienen el siguiente aspecto:

Gráficos más grandes de las imágenes de los intervalos $\{1, \dots, 10^k\}$ para $k \in \{7,8,9\}$ se muestran a continuación:

$k = 7$ :

$k = 8$ :

$k = 9$ :

Answer 1

Esto no es una respuesta, sino una explicación de por qué esta pregunta es tan difícil.

Para números enteros coprimos positivos $a,q$ , dejemos que $$\pi(x;q,a) = \# \{p \leq x : p \equiv a \pmod{q}\}.$$ Para $k \in \mathbb{Z}$ , dejemos que $$A_k = \{n \in \mathbb{N} : \pi(n;8,1) - \pi(n;8,5) = k\},$$ y que $$B_k = \{\pi(n;8,3) - \pi(n;8,7) \in \mathbb{Z} : n \in A_k\}.$$ Entonces su conjetura de que la función $$f(n) = \sum_{p \leq n}{e^{\pi i(p - 1)/4}}$$ es suryectiva en $\mathbb{Z}[i]$ es equivalente a la conjetura de que $B_k = \mathbb{Z}$ para cada $k \in \mathbb{Z}$ .

Para ello, el conjunto $A_k$ debe ser contablemente infinita; es decir, la igualdad $\pi(n;8,1) = \pi(n;8,5)$ debe ocurrir infinitamente a menudo. Este es un resultado difícil, pero de hecho se conoce incondicionalmente: está cubierto por el Teorema 5.1 de " Teoría comparativa de los números primos. II "por S. Knapowski y P. Turán. Al parecer, Jason Sneed ha demostrado ahora incondicionalmente que $\pi(x;q,a) - \pi(x;q,b)$ cambia de signo infinitamente a menudo para todos $q \leq 100$ pero aún no se ha publicado (véase este documento para un debate).

Si se asumen dos conjeturas fuertes, la hipótesis Grand Riemann y la hipótesis de Independencia Lineal (es decir, que las partes imaginarias de los ceros no triviales de todos los Dirichlet $L$ -son linealmente independientes sobre los racionales), entonces se puede decir mucho más. El artículo de Rubinstein y Sarnak sobre Sesgo de Chebyshev muestra que no sólo hay infinitos cambios de signo, sino que la función $$\left(\frac{\log x}{\sqrt{x}} \left(\pi(x;q,a_1) - \mathrm{Li}(x)\right), \ldots, \frac{\log x}{\sqrt{x}} \left(\pi(x;q,a_r) - \mathrm{Li}(x)\right)\right)$$ tiene una distribución logarítmica límite. En concreto, pueden decir aproximadamente la probabilidad $(\log x / \sqrt{x}) \pi(x;8,1)$ y $(\log x / \sqrt{x}) \pi(x;8,5)$ se encuentran en determinadas regiones; por desgracia, esto no dice nada sobre el conjunto $A_k$ para cada número entero $k$ .

Una vez que tenga esa $A_k$ es contablemente infinito, todavía hay que asegurarse de que no hay "conspiración", en el sentido de que el otro número primo raza $\pi(x;8,3) - \pi(x;8,7)$ podría evitar determinadas configuraciones siempre que $x$ es un cero de la carrera de números primos $\pi(x;8,1) - \pi(x;8,5)$ . Esto parece extremadamente difícil, y no sé cómo se podría intentar analizarlo. Dicho esto, Knapowski y Turán estudiaron cuestiones periféricamente relacionadas con esto, así que es posible que haya algo en la literatura que pueda tratar este tipo de problema.

Como apunte, una modificación interesante de esta conjetura es la siguiente. Sea $\chi$ sea un carácter Dirichlet módulo $q$ de modo que $\chi$ está generada por alguna raíz de la unidad $\zeta_Q$ . ¿Es la función $$f_{\chi}(n) = \sum_{p \leq n}{\chi(p)}$$ suryectiva en $\mathbb{Z}[\zeta_Q]$ ?