¿Una fibración afín sobre un espacio afín es necesariamente trivial?

Question

Deje $X$ ser una expresión algebraica a través de una variedad de alg. campo cerrado con cero char. y deje $f:X\to \mathbb{A}^n$ ser un suave surjective de morfismos, de tal manera que todas las fibras (en puntos cercanos) son isomorfos a $\mathbb{A}^m$. De lo anterior se sigue que el $X\cong \mathbb{A}^{n+m}$?

Si no, es cierto, con algunas suposiciones adicionales? Sé que cada vector paquete en la $\mathbb{A}^n$ es trivial (esto es Serre del problema, ¿verdad?) y que es suficiente ni siquiera para pedir que sea localmente trivial en etale toplogy. Es cada "afín paquete" en la $\mathbb{A}^n$ es trivial? Supongo que lo es. La principal pregunta es acerca de un general "fibration".

Answer 1

Siento que ya he contestado a esta pregunta, pero podría haber sido una variante con fibras isomorfo a tori. Vamos a la base de $B$ ser $\mathbb{A}^2$ con coordenadas $s$ e $t$. Comienzan con $B\times \mathbb{P}^3$, donde homogénea coordenadas en $\mathbb{P}^3$ se $[x,y,z,w]$. Deje $S$ ser el divisor de Cartier en $B\times \mathbb{P}^3$ con la definición de la ecuación de $yz-(sx+tw)^2=0$. Deje $L$ ser el divisor de Cartier en $S$ con la definición de la ecuación de $y+z-2(sx+tw)=0$. Deje $U$ ser el complemento de $L$ en $S$. A continuación, $U$ es afín, los morfismos $U\to B$ es suave, y la fibra a cada punto de $(0,0)$ es isomorfo a $\mathbb{A}^2$. Por supuesto, la fibra de más de $(0,0)$ es isomorfo a un discontinuo de la unión de dos copias de $\mathbb{A}^2$. Por lo tanto, definir $V\subset U$ el libre subscheme obtenidos mediante la eliminación de uno de estos dos copias de $\mathbb{A}^2$, es decir, quitar el cerrado subscheme con la definición de las ecuaciones de $s=t=z=0$. A continuación, $V$ es cuasi-afín, y la afín casco es $U$; de esta manera se sigue por Hartog del teorema de / la de Riemann extensión del teorema de / S2 extensión. Por lo tanto, $V$ no es isomorfo a un espacio afín. Sin embargo, la proyección de $V\to B$ tiene todos los requisito de propiedades.

Edit. La mayor respuesta se menciono anteriormente fue similar, pero un poco diferente. La respuesta fue una respuesta a la siguiente pregunta similar, Cuando es un holomorphic inmersión con isomorfo fibras localmente trivial?.