Clase Números y 163

Question

Esta es una pregunta un poco más trivial de lo que suelo apuntar, así que pido disculpas de antemano si esto no pasa la prueba de idoneidad.

Probablemente mi dato curioso favorito en toda la teoría de números sea la yuxtaposición de dos propiedades "extremas y opuestas" sobre el primo 163 en relación a los números de clase:

• $p=163$ es el valor más grande de $p$ para el cual el campo de números cuadráticos imaginarios $\mathbb{Q}(\sqrt{-p})$ tiene número de clase igual a uno. (Baker-Heegner-Stark)

• $p=163$ es el valor más pequeño de $p$ para el cual el campo ciclotómico real $\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$ tiene número de clase mayor que uno. (Schoof)

De las diversas maneras que conozco de "aumentar" y "disminuir" números de clase (teoría de cuerpos de clase, fórmulas tipo Herglotz, teoremas de reflexión tipo Scholz), ninguna parece indicar que estos dos números de clase deberían estar relacionados, mucho menos de forma inversa. Por supuesto, dado que los discriminantes Heegner más pequeños no corresponden a campos ciclotómicos reales análogos con número de clase positivo, esto no es sorprendente.

Esto me lleva a preguntarme si hay un vínculo analítico entre estas dos cantidades, por ejemplo, relacionando sus funciones zeta y observando las fórmulas de número de clase correspondientes. Mis intentos iniciales, admitidamente ingenuos, de extraer algo de la relación entre las funciones zeta para $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ y $\mathbb{Q}(\zeta_p+\zeta_p^{-1})$ no han dado resultados. Entonces mi pregunta es:

¿Existen técnicas analíticas (o de otro tipo) más sofisticadas que podrían arrojar algo de luz sobre el "milagro" anterior?

Por supuesto, también soy consciente de que esta yuxtaposición podría ser puramente coincidencial, un ejemplo moderadamente grande de la ley de los números pequeños en acción. Incluso podría preferirlo de esa manera.

Edit para incorporar algunos cálculos y comentarios de abajo.

Para primos congruentes con 7 módulo 12, el campo ciclotómico real de conductor p contiene un subcampo cúbico cíclico único. Según la teoría de cuerpos de clase, hay una sobreyección de grupos de clase desde el ciclotómico real hacia el cúbico. Dado que para 163, el cúbico cíclico tiene número de clase 4, la no trivialidad del número de clase para el ciclotómico real puede decirse que "viene de" el cúbico. En cierto sentido, la coincidencia se reduce al hecho de que el primer campo cúbico cíclico ("primero" con respecto a un ordenamiento por conductor) de conductor primo congruente con 7 módulo 12 con grupo de clase no trivial es el de conductor 163. El hecho de que 163 sea solo el 11vo primo en esta clase de congruencia puede modificar (en qué dirección no estoy seguro) su opinión sobre si esto es o no una coincidencia.

Salvo algún insight sobre por qué el número de clase de este cuadrático y cúbico estaría relacionado, que puede ser poco probable dado la respuesta de Franz Lemmermeyer, sería interesante saber si se podría idear una prueba probabilística inteligente para evaluar cuánto sorprendido debería estar uno al ver diez cúbicos con número de clase 1 consecutivos. Me imagino que no es muy improbable: acabo de hacer un cálculo, y el número de clase 1 parece ser muy común para cúbicos cíclicos de conductor pequeño ($p<5000$), y alguna evidencia heurística (disculpen, Andrew) en la literatura parece estar de acuerdo.

Answer 1

Si recuerdo correctamente, el número de clase del campo ciclotómico real proviene de su subcampo cúbico. Por lo tanto, también podrías preguntarte si hay una conexión entre los números de clase de campos cuadráticos ${\mathbb Q}(\sqrt{-p})$ y campos cúbicos reales con conductor primo $p$ para primos $p \equiv 7 \bmod 12$. Lo poco que sabemos sobre los números de clase proviene ya sea de objetos analíticos (funciones zeta, fórmulas de números de clase), teoría de campos de clases, o curvas elípticas. Dado que estamos hablando de extensiones abelianas de los racionales, esperaría que una explicación para dicho resultado provenga de la teoría de campos de clases. Pero nada de lo que sé podría ser responsable, ni remotamente, de tal relación. De hecho, los únicos resultados que podrían estar al alcance serían resultados de "independencia" que afirmen que hay infinitos campos para los que un número de clase es divisible por cierto primo pero el otro no lo es.

El problema de por qué hay tan pocas relaciones entre los dos objetos tiene que ver con el hecho de que el compositum de los dos campos es un campo cíclico sexto, que solo tiene dos subcampos no triviales. Las unidades de estos subcampos no generan un grupo de índice finito en el grupo total de unidades, lo cual significa que no deberíamos esperar ninguna relación entre los números de clase de estos objetos.

Por otro lado, nunca se sabe; el número de clase $1$ para el campo cuadrático está conectado con expansiones de fracciones continuas (ver el libro de Zagier sobre campos y formas cuadráticas) - pero los campos cíclicos cúbicos reales parecen tener muy poco que ver con las fracciones continuas.

Answer 2

Después de examinar las tablas de números de clase en Washington y Borevich/Shafarevich, no puedo descartar una conexión, pero si alguien está dispuesto a apostar por esto, ofreceré probabilidades de 3:1 de que sea simplemente una coincidencia.

Los primeros primos donde la parte real del número de clase cíclotomica h es mayor que 1 son (h'=número de clase cuadrática imaginaria)
163 (h=4, h'=1), 191 (h=11, h'=13) 229 (h=3, h'=10) 257 (h=3, h'=16), ...
lo cual no parece prometedor. Las tablas publicadas de números de clase de campos cuadráticos/cíclotomicos contienen cientos de números de aproximadamente este tamaño, por lo que se esperan algunas coincidencias sin sentido.

Answer 3

Yo estaba correctamente regañado por demasiado corto una respuesta y la buena gracia, para dar enlaces. Por lo tanto, doy aquí una más extensa respuesta.

Tomar el 53$^{rd}$ cyclotomic anillo de enteros y el homomorphism $\sigma: \zeta\to\zeta^2$ con la raíz primitiva modulo 2 53. Kummer del número de clase de la fórmula da el primer 4889. Debido a que cada ideal es invariante bajo la homomorphism $\sigma$$^{52}$ y el grupo de clase debe ser cíclico, el homomorphism $\sigma$ sólo se pueden enviar a cada clase de $C$ a la clase $C^\xi$ donde $\xi$ debe ser (no necesariamente primitivo) 52$^{nd}$ raíz modulo 4889 para que $\xi^{52}\equiv 1 \bmod{4889}$. Hay 52 primer ideales $\sigma^k\langle 107, Ψ_{107}(\zeta)\rangle = \langle 107, \sigma^k\Psi_{107}(\zeta)\rangle$. El segundo generador de $\Psi_{107}(\zeta)$ del primer ideal puede ser tomado desde el primer teorema en el capítulo 4.12 del último teorema de Fermat por Edwards. En los anillos de Dedekind esta forma, es fácil demostrar que el máximo común divisor de los ideales $\langle 107\rangle$ e $\langle\Psi_{107}(\zeta)\rangle$ es el primer ideal $\langle 107, \Psi_{107}(\zeta)\rangle$. Un análisis más detallado de este anillo, a continuación, da la clase de equivalencia de $\sigma\langle 107, \Psi_{107}(\zeta)\rangle \sim \langle 107, \Psi_{107}(\zeta)\rangle^{3637}$. El 'código postal' 3637 es de ningún interés. Sin embargo es una primitiva 52$^{nd}$ raíz modulo 4889 y tenemos una clara relación entre la cíclico del grupo de clase de este anillo y la cíclica grupo de Galois $\operatorname{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta)/\mathbb{Q}) = \{\operatorname{id} = \sigma^0, \sigma^1, \dots, \sigma^{51}\}$.

Ahora toma el 41$^{st}$ cyclotomic anillo de enteros, el homomorphism $\sigma: \zeta \to \zeta^6$ con la raíz primitiva $6 \bmod{41}$ y el cyclotomic entero $g_1(\zeta) = \zeta^6 - \zeta^8 - \zeta^{20}$. El ideal de $\langle g_1(\zeta)\rangle$ factorizes a $\langle g_1(\zeta)\rangle = \langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^2\cdot\langle 83, σ^8\Psi_{83}(\zeta)\rangle$. El proceso de factorización de cyclotomic ideales se describe en los capítulos 4.11 ff de Edwards. He descrito este proceso en mi respuesta a esta pregunta en las matemáticas.stackexchange.

El cyclotomic entero $g_2(\zeta) = - \zeta^4 + \zeta^{10} + \zeta^{21} + \zeta^{28} + \zeta^{39}$ factorizes a $\langle g_2(\zeta)\rangle = \langle 83, \sigma^8\Psi_{83}(\zeta)\rangle\cdot\langle 83, \sigma^{28}\Psi_{83}(\zeta)\rangle$ so that we get the class equivalence $\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^2 \sim \langle 83, \sigma^{28}\Psi_{83}(\zeta)\rangle$. El cuadrado de esta equivalencia da

$$\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^4 \sim \langle 83, \sigma^{28}\Psi_{83}(\zeta)\rangle^2 \sim \sigma^{28}[\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^2] \sim \sigma^{28}\langle 83, \sigma^{28}\Psi_{83}(\zeta)\rangle = \langle 83, \sigma^{2·28}\Psi_{83}(\zeta)\rangle.$$

Consecutivos cuadrado da $\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^{2^k} \sim \langle 83, \sigma^{28k}\Psi_{83}(\zeta)\rangle$ y obtenemos la relación general $\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^n \sim \langle 83, \sigma^{4k}\Psi_{83}(\zeta)\rangle$ para un entero $n$ porque $\operatorname{gcd}(28, 40) = 4$. Para $k=10$ obtenemos $\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle^{1024} \sim \langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle$ o el ideal de $\langle 83, \Psi_{83}(\rangle)\rangle^{1023}$ es la directora. Kummer del número de la clase fórmula da $11^2$, de modo que el orden de las clases de la ideal $\langle 83, \Psi_{83}(\zeta)\rangle$ es $11$ con $1023 = 3\cdot 11\cdot 31$. Luego tenemos 4 clase subgrupos $\langle 83, \sigma^{m+4k}\Psi_{83}(\zeta)\rangle, m \in \{0,1,2,3\}$. Pero el número de clase es$11^2$, de modo que la combinación de las clases de 2 subgrupos da las clases del resto de la clase 2 de subgrupos. Por ejemplo, el cyclotomic entero $s_2(\zeta) = \zeta^{28} + \zeta^{36} - \zeta^{39}$ factorizes a $\langle s_2(\zeta)\rangle = \langle 83, \sigma^{14}\Psi_{83}(\zeta)\rangle\cdot\langle 83, \sigma^{24}\Psi_{83}(\zeta)\rangle\cdot\langle 83, \sigma^{33}\Psi_{83}(\zeta)\rangle$. Por lo tanto, la homomorphism $\sigma$ envía la clase de una clase subgrupo para la próxima clase subgrupo. Y sólo tenemos una clara relación entre la homomorphism $\sigma^{4k}$ del grupo de Galois de este anillo y las clases debido a la homomorphism $\sigma^4$ no envía las clases de una clase subgrupo para el siguiente. Sin embargo, el grupo de clase $\mathbb{Z}/11\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$ ha sido confirmada.

El asunto se pone peor con el 163$^{rd}$ cyclotomic anillo de los números enteros. Tomamos el homomorphism $\sigma: \zeta \to \zeta^2$ con la raíz primitiva $2 \bmod{163}$. Yo sólo podía determinar el grupo de clase del primer ideales que factorizar el primer entero a la máxima 27 conjugado primer ideales. El análisis da una clase subgrupo de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Tomar las cuatro clases $c$, $d$, $e$, $f$, cada generador de una cíclica de la clase de los subgrupos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ con el orden de las clases 2. A continuación, cada uno de los ideales de orden 2 puede ser asignado a una clase de $(c^r, d^s, e^t, f^u)$. Tomamos la letra I para el director del divisor. Los ideales $\langle q, \Psi_{q}(\zeta)\rangle$ con $q = 61, 199, 347$ todos tienen seis conjugados (véase el capítulo 4.9 de Edwards). El análisis similar al anterior da

\begin{align*} \langle 61, \sigma^0\Psi_{61}(\zeta)\rangle &\sim (c, I, I, I)\\ \langle 61, \sigma^1\Psi_{61}(\zeta)\rangle &\sim (I, I, e, I)\\ \langle 61, \sigma^2\Psi_{61}(\zeta)\rangle &\sim (I, d, I, I)\\ \langle 61, \sigma^3\Psi_{61}(\zeta)\rangle &\sim (I, I, I, f)\\ \langle 61, \sigma^4\Psi_{61}(\zeta)\rangle &\sim (c, d, I, I)\\ \langle 61, \sigma^5\Psi_{61}(\zeta)\rangle &\sim (I, I, e, f)\\ \langle 199, \sigma^0\Psi_{199}(\zeta)\rangle &\sim (I, d, e, I)\\ \langle 199, \sigma^1\Psi_{199}(\zeta)\rangle &\sim (I, d, I, f)\\ \langle 199, \sigma^2\Psi_{199}(\zeta)\rangle &\sim (c, d, I, f)\\ \langle 199, \sigma^3\Psi_{199}(\zeta)\rangle &\sim (c, d, e, f)\\ \langle 199, \sigma^4\Psi_{199}(\zeta)\rangle &\sim (c, I, e, f)\\ \langle 199, \sigma^5\Psi_{199}(\zeta)\rangle &\sim (c, I, e, I)\\ \langle 347, \sigma^0\Psi_{347}(\zeta)\rangle &\sim (c, I, I, f)\\ \langle 347, \sigma^1\Psi_{347}(\zeta)\rangle &\sim (c, d, e, I)\\ \langle 347, \sigma^2\Psi_{347}(\zeta)\rangle &\sim (I, d, e, f) \end{align*}

y tenemos $\langle 347, \sigma^0\Psi_{347}(\zeta)\rangle \sim \langle 347, \sigma^3\Psi_{347}(\zeta)\rangle$. Aquí la acción del grupo de Galois en el primer ideal $(61, \sigma^0\Psi_{61}(\zeta))$ no se escape de las clases de la clase de los subgrupos $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Aún no forman una clase subgrupo de $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Por lo tanto hemos perdido toda relación entre el grupo de clase y el grupo de Galois.

Mi experiencia con los grupos de la clase de cyclotomic anillos de enteros me enseñó que las clases tienen una estructura en sus propios aunque en general su no parece haber ningún vínculo entre las clases y otras estructuras algebraicas de estos anillos.

Usted puede obtener mi determinación de los grupos de la clase de los anillos y otras cyclotomic anillos de aquí.

Answer 4

Tal vez pueda ayudar con el esquema del grupo de clases del anillo ciclotómico 163 de enteros. Puedes encontrar el documento en

https://drive.google.com/file/d/0BzGxlIJwgYtfMzE0SGM4VHNzY2s/view?usp=sharing

Las clases de los divisores con f=81, 54, 27, 18, 9 y 6 se dan en detalle. Solo los casos f=3, 2, 1 se delinearon porque solo tengo la capacidad de un Pentium i3. Los datos para compilar el documento se pueden tomar de

https://drive.google.com/file/d/0BzGxlIJwgYtfcFJuLWRXVDcyNlE/view?usp=sharing