Sí, $u$ debe ser un polinomio de grado $2$.
He tenido que recurrir a un par de ingredientes inesperados para probar esto;
tal vez hay una sencilla prueba.
[EDITAR O tal vez no: Peter Mueller la respuesta de los informes que
se trata de "un problema abierto en el plano de las funciones durante muchos años",
y da enlaces a los tres periódicos independientes.c.De 1990, que de forma independiente
solucionado. Dos de ellos dan el mismo argumento que he encontrado 23 años más tarde,
y la tercera, por Hiramine, o evita o re-prueba del teorema de Segre
pero es aún más complicado.]
Deje $\kappa$ ser el campo finito ${\bf Z}/p{\bf Z}$
(normalmente esto se llama $k$, pero esa carta ya tomada).
Fijar un trivial $p$-ésima raíz de la unidad $\rho \in {\bf C}$,
decir $\rho = e^{2\pi i/p}$; para $n \in \kappa$
que, naturalmente, deben utilizar $\rho^n$ a la media de $\rho^{\tilde n}$
para cualquier alzamiento $\tilde n$ de % de $n$ a ${\bf Z}$.
Deje $K$ ser $p$-th cyclotomic campo ${\bf Q}[\rho]$,
y $A = {\bf Z}[\rho]$ su anillo de enteros algebraicos,
que contiene la suma de Gauss
$\gamma := \sum_{n \in \kappa} \rho^{n^2} \in A$,
con $\gamma^2 = \pm p$ según $p \equiv \pm 1 \bmod 4$.
Para cualquier $p$-th raíces de la unidad $\omega,\zeta \in A$ con $\zeta \neq 1$,
definir
$$
G(\omega\zeta) = \sum_{k \in \kappa} \omega^k \zeta^{u(k)}.
$$
Yo reclamo que $G(\omega,\zeta)$ es $\pm\gamma$ algunas veces $p$-ésima raíz de la unidad
(como debe de ser si $u$ es cuadrática).
Podemos demostrar esto mediante la imitación de la prueba usual de la $\left|\gamma\right|^2 = p$: escribir
$$
\left|G(\omega\zeta)\right|^2
= \mathop{\sum\sum}_{k,k' \en \kappa}
\omega^{k'-k} \zeta^{u(k)-u(k)}
= \sum_{l \en \kappa} \left[
\omega^l \sum_{k \in \kappa} \zeta^{u(k+l)-u(k)}
\right]
$$
donde $l=k'-k$; ahora para $l=0$ el interior de la suma es $\sum_k 1 = p$,
y para $l\neq 0$ el interior de la suma se desvanece por la hipótesis de $u$
(es una permutación de $\sum_{n\in\kappa} \zeta^n = 0$), por lo
$\left|G(\omega,\zeta)\right|^2 = p$. Esto es válido para cada
Galois conjugado de $G(\omega,\zeta)$, por lo que el algebraicas norma de
$G(\omega,\zeta) \in K$ es $p^{(p-1)/2}$.
Porque no hay una única flor de la $K$ sobre $p$, se deduce que
$\gamma^{-1} G(\omega,\zeta)$ es un entero algebraico
cuyas Galois conjugados tienen valor absoluto $1$.
Por un teorema de Kronecker esta entero debe ser una raíz de la unidad.
Esto demuestra la afirmación de que $G(\omega,\zeta)$ es de la forma
$\pm\zeta^s\gamma$, debido a que el único raíces de la unidad en la $A$
son atribuciones de $\rho$ y sus puntos negativos.
[EDITAR Gluck del papel (la Matemática Discreta. 80 (1990) 97$-$100)
la cites Teorema 1 de "Cavior, S.: Exponencial sumas relacionadas con polinomios
sobre GF(p), Proc. A. M. S. 15 (1964) 175$-$178" para el resultado que
$\pm\zeta^s\gamma$ , son los únicos elementos de valor absoluto $\sqrt p$ en $A$.]
Ahora para cualquier $c \in \kappa$ hemos
$G(\rho^c,\rho) = \sum_{k \in \kappa} \rho^{u(k)+ck}$,
que es una representación de algunos de los $\pm\rho^a\gamma$ como
una suma de $p$ poderes de $\rho$.
Esta representación es única debido a que el polinomio cyclotomic
$\sum_{n=0}^{p-1} X^n$
es irreductible y no se desvanecen en $X=1$.
Ya sabemos que uno de esos representación,
$\pm\rho^s\gamma = \sum_{n\in\kappa} \rho^{an^2+s}$,
donde $a$ es una ecuación cuadrática de residuos o nonresidue de $p$
de acuerdo a la elección de signo más o menos.
Por lo tanto, $u(k)+ck$ deben tomar los mismos valores y multiplicidades como
$an^2+s$ al $k$ varia $\kappa$.
En particular, cada una de las $b \in {\bf Z}/p{\bf Z}$ se produce más de dos veces como $u(k)+ck$.
(Podría esta conclusión han llegado sin la incursión en
la teoría algebraica de números?)
Esto sugiere fuertemente que las $u$ debe ser cuadrática,
pero la implicación es que aún no es evidente.
Para llegar a esa conclusión que el uso de un
teorema de
de Segre
en óvalos algebraica proyectiva aviones de orden impar.
Recordemos que un óvalo en un plano proyectivo $\Pi$ orden $q$
es una $(q+1)$-elemento del conjunto de puntos de $\Pi$ que se reúne cada línea
en la mayoría de los $2$ puntos. Por ejemplo, una cónica en una expresión algebraica
proyectiva del plano es un óvalo.
Teorema (Segre, 1955). Si $F$ es un campo finito de orden impar
a continuación, cada oval en ${\bf P}^2(F)$ es una cónica.
Ahora nos demuestran que el subconjunto
$\lbrace (x,y) = (k,u(k)) : k \in \kappa \rbrace$
del plano afín $\kappa^2$ se reúne cada línea de $cx+y=b$ en más de dos puntos;
también se reúne cada línea de $x=x_0$ en exactamente un punto. Por lo tanto podemos construir
un óvalo ${\cal O}$ en ${\bf P}^2(\kappa)$ consiste en estos puntos
$(k:u(k):1)$ junto con el punto en el infinito $(0:1:0)$.
Por Segre del teorema $\cal O$ es una cónica.
En cuanto responde a la línea en el infinito a solo un punto de $(0:1:0)$,
este cónica ${\cal O}$ consiste en que punto junto con la gráfica de
un polinomio cuadrático, QED.
