¿La curvatura determina la métrica?

Question

Hola,

Me pregunto si la curvatura determina la métrica.

Concretamente: Dada una variedad riemanniana compacta $M$ ¿hay dos métricas $g_1$ y $g_2$ que no son planas en todas partes, de manera que no son no son isométricos entre sí, sino que existe un difeomorfismo que preserva la curvatura?

Si la respuesta es afirmativa:

¿Podemos elegir $M$ para ser un 2manifold compacto?

¿Podemos clasificar las variedades en las que la curvatura determina la métrica?

¿Qué ocurre si también admitimos las variedades semirriemannianas para las preguntas anteriores?

Gracias por la ayuda.

Answer 1

No debe sorprender que, para un $2$ -la curvatura de Gauss $K:M\to\mathbb{R}$ no determina una métrica única $g$ . Después de todo, la primera es localmente una función de $2$ mientras que esta última es localmente tres funciones de $2$ variables. Sería notable que $K$ determinado $g$ incluso hasta la isometría, y, por supuesto, salvo la constante $K$ No es así, como demuestran los argumentos de Weinstein y Kulkarni.

Mientras tanto, si se considera la curvatura $\mathsf{R}(g)$ de la conexión Levi-Civita de la métrica $g$ en una superficie $M$ como una sección del rango $3$ paquete $\bigl(T\otimes T^\ast)_0\otimes \Lambda^2(T^\ast)={\frak{sl}}(T)\otimes \Lambda^2(T^\ast)$ entonces la ecuación $\mathsf{R}(g) = {\mathsf{R}}_0$ para una sección dada no nula ${\mathsf{R}}_0$ de ${\frak{sl}}(T)\otimes \Lambda^2(T^\ast)$ es una ecuación de segundo orden determinada para $g$ . (Aquí, estoy escribiendo " $T$ " por " $TM$ ", etc., para ahorrar espacio). Esto se convierte entonces en una pregunta más razonable, que tiene una respuesta fácil: A saber, si $M$ es compacto y conectado y $g_1$ y $g_2$ son métricas sobre $M$ tal que $\mathsf{R}(g_1) = \mathsf{R}(g_2)$ y tal que estos tensores de curvatura no son evanescentes en ninguna parte, entonces $g_2 = c g_1$ para alguna constante $c>0$ y a la inversa. La razón es sencilla: Si ${\mathsf{R}}_0$ es una sección no evanescente de ${\frak{sl}}(T)\otimes \Lambda^2(T^\ast)$ , exigiendo entonces que $\mathsf{R}(g) = {\mathsf{R}}_0$ determina la clase conforme de $g$ de forma puramente algebraica (porque el uso de $g$ para "bajar el primer índice" de ${\mathsf{R}}_0$ tiene que dar lugar a un tensor que sea asimétrico en los dos primeros índices). Así, si $\mathsf{R}(g_1) = \mathsf{R}(g_2) = {\mathsf{R}}_0$ donde esta última es no evanescente, entonces $g_2 = e^u\ g_1$ para alguna función $u$ en $M$ . Introduciendo esto en la ecuación $\mathsf{R}(g_1) = \mathsf{R}(g_2)$ y el cálculo muestra que $u$ debe ser armónico con respecto a la estructura conforme determinada por $g_1$ (que es también la estructura conforme determinada por $g_2$ ). Si $M$ es compacto y conectado, entonces $u$ tiene que ser constante.

Como señala Misha, en dimensiones superiores, la situación es bastante diferente y está bien descrita en los trabajos de Kulkarni y Yau que cita. Sin embargo, sólo cualitativamente, vale la pena señalar que especificar la curvatura seccional de una métrica es generalmente una muy problema sobredeterminado en dimensiones superiores, por lo que los resultados de rigidez de Kulkarni y Yau no deberían sorprender.

Para ver la naturaleza de esto, recordemos que el tensor de curvatura de Riemann $\mathsf{Rm}(g)$ de una métrica $g$ en $M$ se obtiene de $\mathsf{R}(g)$ mediante la "bajada de un índice". Por la primera identidad de Bianchi, $\mathsf{Rm}(g)$ es una sección del subfondo ${\mathsf{K}}(T^\ast)\subset {\mathsf{S}}^2\bigl(\Lambda^2(T^\ast)\bigr)$ que es el núcleo del mapa natural inducido por el producto cuña $$ \mathsf{S}^2\bigl(\Lambda^2(T^\ast)\bigr)\to \Lambda^4(T^\ast) $$ De hecho, este mapa tiene un $\mathrm{GL}(T)$ -inverso derecho equivariante, por lo que se tiene una división canónica del haz $$ \mathsf{S}^2\bigl(\Lambda^2(T^\ast)\bigr) = {\mathsf{K}}(T^\ast)\oplus \Lambda^4(T^\ast) $$ y estos dos subgrupos son $\mathrm{GL}(T)$ -irreducible. (Estoy usando $\mathrm{GL}(T)$ para denotar el grupo "gauge" de los automorfismos del haz de $T = TM$ . No digo que sea una gran notación, pero estará bien para esta discusión). Una interpretación importante de este desdoblamiento es la siguiente: Obviamente, se puede considerar una sección de $\mathsf{S}^2\bigl(\Lambda^2(T^\ast)\bigr)$ como una forma cuadrática en el haz $\Lambda^2(T)$ . Entonces los elementos de $\Lambda^4(T^\ast)\subset \mathsf{S}^2\bigl(\Lambda^2(T^\ast)\bigr)$ son exactamente las formas cuadráticas que desaparecen en todos los elementos descomponibles en $\Lambda^2(T)$ es decir, los elementos de la forma $x\wedge y$ para $x,y\in T_xM$ para algunos $x$ . En particular, una sección $Q$ de ${\mathsf{K}}(T^\ast)$ está completamente determinada por sus valores en el "haz de conos $\mathsf{C}\subset \Lambda^2(T)$ que consiste en los elementos descomponibles.

Ahora, cualquier métrica $g$ en $M$ determina una sección única $\Lambda^2(g)$ de ${\mathsf{K}}(T^\ast)$ con la propiedad de que $$ \Lambda^2(g)\bigl(x\wedge y\bigr) = |x\wedge y|^2_g = g(x,x)g(y,y)-g(x,y)^2, $$ y la curvatura seccional de $g$ es simplemente la función $\sigma_g:\mathsf{Gr}(2,T)\to\mathbb{R}$ definida como la relación $$ \sigma_g\bigl([x\wedge y]\bigr) = \frac{\mathsf{Rm}(g)\bigl(x\wedge y\bigr)}{\Lambda^2(g)\bigl(x\wedge y\bigr)} \quad\text{for $ x,y\Nen T_xM $ with $ x\wedge y\not=0 $}, $$ donde consideramos $\mathsf{Gr}(2,T)$ como la proyectivización del haz de conos $\mathsf{C}$ .

El hecho de que la función de curvatura seccional sea el cociente de dos formas cuadráticas que son secciones de $\mathsf{K}(T^\ast)$ muestra que es una función muy restringida en $\mathsf{Gr}(2,T)$ . De hecho, a menos que la curvatura seccional sea constante en $\mathsf{Gr}(2,T_x)$ el numerador y el denominador de este cociente en $x\in M$ están determinados de forma única hasta un múltiplo común. En particular, el conjunto de tales funciones sobre $\mathsf{Gr}(2,T)$ puede considerarse como el conjunto de secciones de un haz sobre $M$ cuyas fibras son isomorfas a un espacio de dimensión $d_n = \tfrac12 n(n{+}1) + \tfrac1{12}n^2(n^2-1) -1$ que es singular a lo largo de la $1$ -de funciones constantes.

En particular, especificando una función de curvatura seccional candidata $\sigma:\mathsf{Gr}(2,T)\to\mathbb{R}$ que no es constante en ninguna fibra $\mathsf{Gr}(2,T_x)$ equivale a especificar $d_n$ funciones de $n$ variables para el $\tfrac12 n(n{+}1)$ coeficientes de $g$ que está muy sobredeterminado cuando $n>2$ . Por eso se tiene el nivel de rigidez para la curvatura seccional que se indica en los resultados de Kulkarni y Yau. De hecho, como muestra este análisis, si $\sigma_{g_1} = \sigma_{g_2} = \sigma$ , donde $\sigma$ no es constante en ninguna fibra $\mathsf{Gr}(2,T_x)$ , entonces hay que tener $g_2 = e^u g_1$ para alguna función $u$ en $M$ y esa función $u$ tendrá que satisfacer $\mathsf{Rm}(e^u g_1) = e^{2u} \mathsf{Rm}(g_1)$ que es, a su vez, una ecuación de segundo orden muy sobredeterminada para la función única $u$ . (Es un poco llamativo que existan métricas no planas $g$ que admiten soluciones no nulas $u$ a $\mathsf{Rm}(e^u g) = e^{2u} \mathsf{Rm}(g)$ en absoluto, incluso sin la suposición de compacidad. Esto es lo que hace que el contraejemplo de Yau en dimensión $3$ tan interesante. Sin embargo, resulta que, hasta una escala constante y un difeomorfismo, hay exactamente un $1$ -familia de parámetros de tales métricas excepcionales en dimensión $3$ Por lo tanto, son extremadamente raros. )

El resultado de todas estas observaciones es que al especificar una función de curvatura seccional no constante $\sigma_g$ en las dimensiones anteriores $2$ casi determina $g$ en todos los casos, de modo que, salvo en un conjunto muy pequeño de casos degenerados, la curvatura seccional determina, efectivamente, la métrica. Sin embargo, es un problema tan sobredeterminado que este resultado no es tan sorprendente.

En particular, la especificación de $\sigma_g$ es especificar una mayor cantidad de información sobre $g$ que especificar, por ejemplo, $\mathsf{Rm}(g)$ . Cuando $n>3$ incluso especificando $\mathsf{Rm}(g)$ está sobredeterminado, y, en general, se espera que $\mathsf{Rm}(g)$ para determinar $g$ también cuando $n>3$ .

Cuando $n=3$ especificando $\mathsf{Rm}(g) = \mathsf{R}$ es localmente $6$ ecuaciones de segundo orden para $6$ incógnitas, por lo que es un sistema determinado. En los años 80, utilizando el teorema de Cartan-Kähler, demostré que, cuando $\mathsf{R}$ es apropiadamente no degenerada y real-analítica, la ecuación $\mathsf{Rm}(g) = \mathsf{R}$ es localmente soluble para $g$ y la solución general depende de $5$ funciones de $2$ variables. Más tarde, Dennis DeTurck y Deane Yang demostraron este resultado también en la categoría suave (véase Existencia local de métricas suaves con curvatura prescrita , en Nonlinear problems in geometry (Mobile, Ala., 1985), 37--43, Contemp. Math., 51, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1986).

En dimensiones superiores, el problema natural de la curvatura determinada es especificar el tensor de Ricci $\mathsf{Rc}(g)$ como una sección de $S^2(T^\ast)$ (o alguna versión modificada de la misma), y, allí, Dennis DeTurck tiene los mejores resultados.

Answer 2

Para un contraejemplo concreto de 2 dimensiones, véase la página 328 del artículo de Kulkarni "Curvature and metric", Annals of Math, 1970. El argumento de Weinstein muestra que cada La superficie riemanniana proporciona un contraejemplo (utilizando el flujo ortogonal al gradiente de la curvatura).

En el lado positivo, si $M$ es compacto de dimensión $\ge 3$ y no tiene curvatura seccional constante en ninguna parte, entonces la combinación de resultados de Kulkarni y Yau muestran que un difeomorfismo que preserva la curvatura seccional es necesariamente una isometría.

Con respecto a los contraejemplos bidimensionales: En primer lugar, toda superficie que admita un subconjunto abierto en el que la curvatura sea constante (no nula) daría obviamente un contraejemplo. Por lo tanto, ahora supondré que la curvatura no es constante en ninguna parte. Kulkarni remite a la "Introducción a la geometría diferencial y a la geometría riemanniana" de Kreyszig, p. 164, para un contraejemplo atribuido a Stackel y Wangerin. Probablemente puedas conseguir el libro a través de un préstamo interbibliotecario si estás en los Estados Unidos. Este es el argumento de Weinstein. Consideremos una superficie riemanniana $(S,g)$ y que $K$ denotan la función de curvatura. Sea $X$ sea un campo vectorial no nulo en $S$ ortogonal al campo de gradiente de $K$ . (Tales $X$ siempre existe). Ahora, consideremos el flujo $F_t$ a lo largo de $X$ . Entonces $F_t$ preservará la curvatura pero no será (para la mayoría de las métricas $g$ y campos vectoriales $X$ ) isométrica. Por ejemplo, $F_t$ no puede ser isométrica si el género de $S$ es al menos $2$ o si $X$ tiene más de 2 ceros.