¿Son monótonas las funciones continuas para rangos muy pequeños?

Question

Así que me pregunto, si tenemos una función continua $f : A \to B$ , hace una gama $[x, x + h]$ existen para cada $x\in A$ , $h = h(x)>0$ para que $f$ ¿es monótona en ese rango?

Answer 1

No, no es cierto, por ejemplo, considere la función $x\sin(\frac{1}{x})$ . Es continua en el cero si se toma como límite el valor de la función. Pero oscila muy rápidamente en cada pequeña vecindad alrededor de cero.

Si no me equivoco, incluso una función continua en todas partes pero no diferenciable tiene esta propiedad. aquí

Answer 2

Y para un ejemplo que falla en cada $c$ , tome el La función de Weierstrass definido por $$f(x)=\sum \limits_{n=0}^\infty\left(\dfrac 1 {2^n} \cos \left(15^n \pi x \right)\right).$$

El gráfico de esta función muestra autosimilaridad (véase el círculo rojo de abajo) y se parece a esto:

Answer 3

Las funciones monótonas son diferenciables en casi todas partes. Así, si una función es monótona en un intervalo, es diferenciable en un conjunto de medida positiva. Sin embargo, hay funciones continuas no diferenciables en ninguna parte, por lo que no es cierto que las funciones continuas sean monótonas en una vecindad (unilateral) de cada punto.

Un ejemplo de función continua no diferenciable en ninguna parte es la Función Takagi .

Answer 4

Otro ejemplo más: el 1er. Movimiento Browniano (también llamado "Proceso de Wiener") es continuo pero, casi con seguridad, no es monótono en ningún intervalo.

Prueba. dejar $0\le a\le b$ y denotar por $P(a,b)$ la probabilidad de que el movimiento browniano $B(t)$ es monótona en el intervalo $(a,b)$ . Entonces, por la independencia de los incrementos (una característica importante del movimiento browniano), para cada $n$ tenemos que $$P(a,b) \le 2^{-n} P(a, a+(b-a)2^{-n})$$ por lo que $P(a,b)=0$ .

Dado que el conjunto de todos los intervalos con extremos racionales es contable, se deduce que casi con seguridad $B(t)$ no es monótona en ningún intervalo de este tipo. Por la densidad de $\mathbb{Q}$ en $\mathbb{R}$ se deduce que cualquier intervalo contiene un intervalo con puntos finales racionales, por lo que con alta probabilidad $B(t)$ no es monótona en cualquier intervalo.

Answer 5

He aquí una construcción explícita y elemental de una función continua pero no monótona en ninguna parte, sin apelar a la diferenciabilidad:

La construcción procede en fases, con la invariante de que después de la fase $k$ hemos elegido un número finito de puntos de la gráfica de la función, tal que

1. La distancia horizontal entre dos puntos vecinos es como máximo $2^{-k}$ y

2. La pendiente de la recta entre puntos vecinos es $\pm\frac{k}{k+1}$ con el signo alternado.

En fase $0$ seleccione los puntos $(0,0)$ y $(1,0)$

En fase $k\ge 1$ Insertar dos nuevos puntos entre cada dos puntos vecinos conocidos $p$ y $q$ . Supongamos que la pendiente de $p$ a $q$ es positivo (es decir $\frac{k-1}{k}$ ); el caso negativo es el mismo con signos opuestos. Ahora dibuje líneas paralelas de pendiente $\frac{k}{k+1}$ a través de $p$ y $q$ y los intercepta con la línea de pendiente $-\frac{k}{k+1}$ a través del punto medio $\frac12(p+q)$ . Las dos intersecciones son nuestros dos nuevos puntos. Como $\frac{k}{k+1}>\frac{k-1}{k}$ Los dos nuevos puntos aparecerán en el orden correcto.

Después de $\omega$ fases, hemos seleccionado valores para nuestra función en un conjunto denso de $x$ valores en $[0,1]$ y restringida a este conjunto la función es uniformemente continua debido a la invariante de la pendiente. Por lo tanto, se puede extender de forma única a una función continua $[0,1]\to\mathbb R$ .

La función extendida es no monótona en todo intervalo abierto. Es decir, después de un número finito de fases, se habrán elegido al menos tres puntos del intervalo. Si $a,b,c$ son estos tres consecutivos puntos, $f(b)$ será mayor que ambos $f(a)$ y $f(c)$ o menor que ambos; en cualquier caso $f$ no es monótona en el intervalo.