¿Existe un teorema de imposibilidad de votación verdaderamente general que se aplique a las elecciones reales?

Question

El propósito de la mayoría de las elecciones políticas es seleccionar del conjunto de candidatos un número predeterminado $n$ de los candidatos seleccionados. (A menudo $n = 1$ .) En resumen, mi pregunta es:

¿Se ha demostrado que ningún procedimiento de votación ¿permitirá hacerlo de forma razonable?

Para comparar, Teorema de Arrow afirma (a grandes rasgos) que cuando cada votante pone un orden total en el conjunto $C$ de candidatos, no hay una buena manera de promediar esos pedidos para producir un pedido total en $C$ . Este resultado ha sido, por supuesto, enormemente influyente, dando lugar a muchos otros teoremas de imposibilidad de votación. Sin embargo, no modela la situación más común de la vida real, en la que el resultado que queremos es un subconjunto de $C$ de cardinalidad $n$ (la parte superior $n$ candidatos, sea cual sea el significado de "top") en lugar de un orden total en $C$ .

Permítanme subrayar lo general que es mi pregunta. Supongamos que hay 25 candidatos, de los cuales 3 van a ser elegidos como nuestros representantes. ¿Hay cualquier cosa que se podría pedir a los votantes en la cabina electoral y que luego se podría procesar de alguna manera para seleccionar a los 3 mejores, de forma que se mantengan unas condiciones razonables? Por "condiciones razonables" me refiero a las habituales que aparecen en la teoría de la elección social, por ejemplo, en el teorema de Arrow o el Gibbard- Teorema de Satterthwaite no es una dictadura, el voto táctico es inútil, etc.

Por ejemplo, tal vez cada votante tenga que marcar a cada candidato sobre 10. O quizás los votantes puedan hacer varias afirmaciones como "si X es elegido pero Y no, entonces Z debería serlo". O tal vez los votantes pongan un orden parcial en el conjunto de candidatos, y siempre que prefieran X a Y, elijan un número real que especifique cuánto prefieren X a Y. Hay infinitas posibilidades, y mi pregunta es si hay algún teorema que afirme que no importa lo que los votantes tengan que hacer no hay una buena manera de seleccionar los mejores $n$ candidatos.

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Editar En respuesta a los comentarios, permítanme subrayar aún más la generalidad de esta pregunta. Muchos de los teoremas de imposibilidad existentes son de la siguiente forma: si cada votante proporciona una entrada de un tipo determinado, entonces no hay una buena forma de producir a partir de ella una salida de otro tipo determinado. Por ejemplo, en el teorema de Arrow, tanto el tipo de entrada como el de salida son de "orden total en el conjunto de candidatos". Estoy fijando el tipo de salida (cardinalidad- $n$ subconjunto del conjunto de candidatos, para algún $n$ ) y buscando un teorema que afirme que independientemente del tipo de entrada que se utilice No hay un buen sistema. No quiero restringirme a los pedidos totales, o a los tipos de entrada que puedan derivarse de los pedidos totales. ¡Cualquier cosa!

Answer 1

Esto también es un comentario, en la línea del comentario de usul pero un poco diferente. Creo que es mejor no formular tu pregunta en términos de "no importa el tipo de entrada que se utilice" sino "no importa lo apáticos que sean los votantes". Para ser más claro, la forma en que pienso en el teorema de Arrow no es que si diseñas una papeleta con un orden total entonces estás en problemas; más bien, es que si los votantes tienen preferencias tan sofisticadas que son capaces de clasificar a todos los candidatos en un orden total entonces estás en problemas. A lo que creo que se quiere llegar con los órdenes parciales es a preguntar: ¿qué pasa si a los votantes no les importan tanto los candidatos como para poder clasificarlos en orden estricto? Intuitivamente, cuanto más apáticos sean los votantes, más fácil debería ser apaciguarlos.

Por lo tanto, el teorema de imposibilidad más general sería algo así como que, aunque a los votantes no les importe en absoluto ninguno de los candidatos, no hay manera de seleccionar un candidato satisfactorio, y ahora podemos ver fácilmente que trivialmente no puede haber un teorema tan general. Si a nadie le importa, entonces elige a cualquiera, y no puede haber ninguna objeción.

De forma algo menos trivial, si cada votante tiene un solo candidato que le gusta y es totalmente indiferente entre los demás, entonces la elección del candidato con más votos va a estar libre de paradojas según casi cualquier criterio razonable para un sistema de votación satisfactorio.

Así que creo que lo que preguntas es, ¿cuál es la población de votantes más apática que no siempre se puede apaciguar? Soy un poco escéptico de que pueda haber un único teorema de imposibilidad "óptimo" en este sentido, pero quizá lo haya.

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Editar: A la luz de algunas de las discusiones, voy a tratar de articular algunas suposiciones tácitas que creo que la gente está haciendo y que creo que están confundiendo la cuestión.

Sospecho que mucha gente, incluido Tom, creo, se imagina tácitamente que los votantes tienen realmente opiniones sobre todo tipo de cosas. Quizás algún votante prefiera que si tres de los candidatos $C_1, \ldots, C_n$ se elija, entonces debe ser $C_1, C_2, C_3$ A no ser que a mi vecino también le guste esa opción, en cuyo caso preferiría $C_4,C_5,C_6$ sólo para ver sufrir a mi vecino, pero si mi mujer me dice que odia $C_6$ entonces preferiría $C_4,C_5,C_7$ (al menos, si me dice esto seis o más días antes de que mi padre me diga que odia $C_7$ , y No creo que mi padre esté mintiendo, y $C_7$ no ha quedado peor que el segundo puesto en las dos últimas elecciones), etc. Todas las opiniones imaginables están en la cabeza de los votantes. Diseñar un sistema de votación equivale a un método de muestreo de ese vasto mar de información, y el diseñador quiere asegurarse de que el sistema no sufra de paradojas.

Si uno trata de generalizar el teorema de Arrow (y similares) en la dirección que Tom parece querer hacer, entonces creo que esta forma de pensar sobre los votantes no es útil. La razón por la que surgen las paradojas es precisamente porque cuando las preferencias de los votantes superan algún umbral de complejidad, no hay una forma coherente de definir "la voluntad del pueblo". Mientras la gente tenga en secreto esas preferencias complejas y paradójicas, el resultado de cualquier sistema de votación no expresará la voluntad del pueblo, simplemente porque esa voluntad no existe. No importa si el sistema de votación muestra más o menos información o de qué manera; lo máximo que puede hacer es obvio que no hay voluntad del pueblo, pero incluso si muestrea la información de una manera que no pone al descubierto este feo secreto, no ha expresado con éxito la voluntad del pueblo. Sólo has enterrado la cabeza en la arena.

En mi opinión, la manera de abordar la cuestión es dejar de suponer que los votantes tienen opiniones sobre todas las cosas imaginables, incluso las que no aparecen en la papeleta. En su lugar, suponer que las papeletas recogen todo lo que hay que saber sobre las preferencias de los votantes . Si una preferencia no aparece en una papeleta, entonces no existe. Esto no es realmente una limitación, porque somos libres de diseñar cualquier tipo de papeleta que queramos . La papeleta podría ser un largo cuestionario en el que se solicitan opiniones sobre tus vecinos y las últimas elecciones y si estás de mal humor hoy o lo que sea. La única regla es que si una preferencia no está en la papeleta, entonces no existe. Esta sencilla convención evita todas las complicaciones sobre si un sistema de votación está escondiendo la cabeza en la arena porque sólo pide información parcial, cuando si pidiera la información completa entonces se revelaría una dificultad. Ahora no hay diferencia entre lo que prefieren los votantes y lo que indica la papeleta. Esto hace que el problema sea mucho más sencillo y claro.

Ahora quizás mi sugerencia original sea más clara. Para generalizar el teorema de Arrow, queremos ver las papeletas que no expresan más preferencias que una orden total. Podría expresar estrictamente menos preferencias (un orden parcial) o podría expresar un conjunto de preferencias que es diferente, quizás aparentemente más complicado, pero no estrictamente más de lo que contiene un orden total. Aquí hay mucho espacio para teoremas de imposibilidad; eso requiere una investigación detallada. Pero la cuestión es que es útil pensar en términos de diferentes estados de las preferencias reales de los votantes, en lugar de en términos de diferentes formas de muestreo de algunos conjuntos infinitos pero desconocidos de preferencias.

Answer 2

Para una definición suficientemente amplia de "votación" -que incluya el gasto de dinero- existe una solución, procedente del campo del diseño de mecanismos.

El sistema de votación funciona así: Cada votante debe asignar a cada uno de los candidatos un valor monetario. Los valores individuales no son significativos, pero las diferencias sí: representan la diferencia en las preferencias del individuo entre los dos candidatos, medida en dólares.

El candidato que obtenga el mayor valor total en dólares gana.

A continuación, el sistema de votación extrae una cuota de democracia de cada votante del bando ganador cuyo voto influyó en el total, es decir, si su voto no se hubiera contado, habría ganado un candidato diferente. La tasa es igual al valor total en dólares que otros votantes dieron al candidato diferente, menos el valor total dado al candidato ganador. (Esto es siempre un número mayor que cero y menor que la diferencia de valor que el votante colocó entre los dos candidatos).

Es bastante fácil comprobar que ningún votante está incentivado a mentir sobre sus verdaderas preferencias monetarias, suponiendo que su función de utilidad depende del dinero de forma independiente del candidato, de modo que la noción de preferencias monetarias tiene sentido. Así que este sistema de votación es completamente perfecto, excepto que:

I. La representación de los votantes es proporcional al dinero, por lo que los ricos, o simplemente la gente a la que no le importa mucho el dinero, están sobrerrepresentados.

II. Las tasas de la democracia deben gastarse en algo que no afecta a la utilidad de ningún votante, lo que presumiblemente significa que se desperdicia. Dependiendo del número de elecciones reñidas, esto podría suponer un coste considerable para el sistema.

Se trata de un caso especial del mecanismo Vickrey-Clarke-Groves del campo del diseño de mecanismos en la teoría de juegos. Puede manejar elecciones, subastas y todas las formas de toma de decisiones en grupo, con las mismas salvedades, salvo que el mecanismo central también puede tener que pagar a los participantes y a veces acaba perdiendo dinero, lo que lo hace inviable en la práctica.

Answer 3

Esta es una reescritura completa de mi respuesta original, combinada con mis comentarios sobre la pregunta original y varias otras respuestas.

Supongamos que tenemos un conjunto finito $C$ de candidatos, y un conjunto finito $E$ de los electores (con $|C|>1$ y $|E|>2$ para evitar algunos casos degenerados). Asumiré que sólo estamos modelando lo que ocurre en algún tipo de votación secreta después de que la campaña haya terminado, por lo que cada elector rellena independientemente algún tipo de formulario. Sea $F(C)$ sea el conjunto de formas posibles de rellenar el formulario. Si se trata a todos los candidatos por igual, entonces $F(C)$ debe ser functorial para las biyecciones de $C$ . La colección de opciones de los votantes es un punto $f\in\text{Map}(E,F(C))$ .

Algunos candidatos obvios para $F(C)$ son

• $F(C)=C\amalg\{0\}$ El sistema tradicional en el que cada votante elige a un solo candidato, o no vota (representado por $0$ ).
• $F(C)=P(C)$ (el conjunto de subconjuntos de $C$ ): el sistema de "voto de aprobación" en el que cada votante indica qué candidatos le parecen aceptables
• $F(C)=\text{Ord}(C)$ (el conjunto de órdenes totales en $C$ ): el sistema asumido en los teoremas de Arrow y Gibbard-Satterthwaite, donde cada votante tiene y registra un orden de preferencia total.
• $F(C)=\text{Pre}(C)$ (el conjunto de preórdenes en $C$ ).

No es difícil pensar en otras posibilidades.

Tenga en cuenta que si $|C|=n$ y $N=\{0,\dotsc,n-1\}$ entonces $\text{Ord}(C)$ puede identificarse con el conjunto de biyecciones $N\to C$ . De ello se desprende que los mapas naturales $\text{Ord}\to F$ biyecto con elementos de $F(N)$ . En particular, hay muchos mapas de este tipo, pero vemos por los ejemplos anteriores que a menudo ninguno de ellos será inyectivo. Parece razonable suponer que existe un conjunto no vacío dado $R_0(N)\subseteq F(N)$ que consiste en las posibles respuestas de forma que no son obviamente incompatibles con las preferencias $0<1<\dotsb<N-1$ . Dado esto, podemos definir por funtorialidad un subconjunto $R(C)\subseteq\text{Ord}(C)\times F(C)$ , que consta de pares $(o,u)$ donde la respuesta del formulario $u$ no es obviamente incompatible con la ordenación $o$ .

Ahora pon $e=|E|$ y $$ S_e(F(C)) = \{m\colon F(C)\to \mathbb{N} : \sum_{u\in F(C)} m(u) = e\}. $$ Dado $f\in\text{Map}(E,F(C))$ podemos poner $\mu(f)(u)=|f^{-1}\{u\}|$ para conseguir un punto $\mu(f)\in S_e(F(C))$ que es un completo $\text{Aut}(E)$ -invariante para $f$ . Cualquier sistema de votación justo debe ser $\text{Aut}(E)$ -y por lo tanto debería ser un factor a través de $\mu$ .

Asumiré por el momento que ahora queremos elegir a un solo candidato, así que $n=1$ en la notación de Tom.

Lo ideal sería esperar un mapa $\sigma\colon S_e(F(C))\to C$ tal que $\sigma(\mu(f))$ es el candidato elegido. La equidad entre los candidatos dicta que esto debe ser equitativo para $\text{Aut}(C)$ . Sin embargo, esto es claramente imposible, porque normalmente habrá muchos puntos en $S_e(F(C))$ que se fijan por $\text{Aut}(C)$ pero no hay tales puntos en $C$ . Por lo tanto, necesitamos alguna manera de pensar en la ruptura de los vínculos, incluso si es probable que sean raros.

El enfoque de Duggan y Schwartz ( http://dx.doi.org/10.1007%2FPL00007177 ; http://en.wikipedia.org/wiki/Duggan%E2%80%93Schwartz_theorem ) es considerar los sistemas de votación $\sigma\colon S_e(\text{Ord}(C))\to P'C$ , donde $P'C$ es el conjunto de subconjuntos no vacíos de $C$ . La idea es que $\sigma(f)$ suele ser un singleton, pero si no lo es, uno de los candidatos en $\sigma(f)$ serán elegidos por algún tipo de sorteo. Demuestran que, bajo supuestos mínimos, cualquier sistema de este tipo es manipulable, sin importar los detalles de la lotería. Creo que esto resuelve completamente la cuestión para el caso $F=\text{Ord}$ al menos si aceptamos la posición tradicional de que la manipulabilidad es lo que hay que evitar.

¿Y qué si $F\neq\text{Ord}$ ? He intentado pensar en otras formas de manejar los vínculos, pero me parece que el marco de Duggan-Schwartz es óptimo. Por lo tanto, deberíamos pensar en $\text{Aut}(C)$ -sistemas de votación equivariante $\sigma\colon S_e(F(C))\to P'C$ . A continuación, hay que definir qué significa que un sistema de este tipo sea manipulable. Parece ineludible que tal definición debe implicar la noción de que algunos votantes prefieren algunos resultados a otros. Por lo tanto, debemos suponer que cada votante tiene un preorden de preferencias. Algunos votantes pueden ser completamente apáticos, por lo que sus preórdenes clasificarán a todos los candidatos por igual, pero otros votantes pueden tener un orden de preferencia total. Cualquier sistema satisfactorio debe ser capaz de manejar el caso especial en el que el preorden de cada votante es total, así que si podemos demostrar un teorema de imposibilidad en ese contexto, entonces hemos terminado. Ahora elija un punto $r\in R_0(N)$ , dando un mapa $\rho\colon\text{Ord}(C)\to F(C)$ . Puede ocurrir que todos los votantes decidan rellenar sus papeletas aplicando $\rho$ a su orden de preferencia total. Si podemos demostrar un teorema de imposibilidad en este caso especial, entonces de nuevo hemos terminado. Ahora tenemos un mapa $\sigma\circ\rho_*\colon S_e(\text{Ord}(C))\to P'(C)$ . El teorema de Duggan-Schwartz ofrece una lista de cuatro propiedades que este mapa no puede satisfacer simultáneamente. Como hemos asumido condiciones de simetría más fuertes que las de Duggan y Schwartz, las condiciones de Soberanía Ciudadana y de no-Dictadura son automáticas. La condición de Resolutividad Residual dice que si todos los votantes tienen el mismo orden de preferencia, excepto que un votante podría intercambiar los dos primeros candidatos, entonces la primera opción de la mayoría debería ser elegida. En nuestro contexto, se trata de una condición sobre $R_0$ y $\sigma$ y parece una condición que ciertamente debemos asumir. El teorema dice entonces que $\sigma\circ\rho_*$ representa un sistema de votación manipulable según la definición de Duggan-Schwartz. Esto es válido para todos los $r\in R_0(N)$ y eso parece una condición suficiente razonable para decir que $\sigma$ es manipulable.

Si queremos elegir $n$ candidatos con $n>1$ probablemente deberíamos considerar un marco similar al de Duggan y Schwartz, excepto que $\sigma$ debe ser un mapa de $\text{Map}(E,\text{Ord}(C))$ a $P_{\geq n}(C)$ y precisamente $n$ los candidatos deben ser elegidos por sorteo si $\sigma$ produce un conjunto de tamaño estrictamente mayor que $n$ . Me parece que no debería cambiar mucho, pero no he intentado averiguar los detalles.

Answer 4

La votación de aprobación puede ser la solución razonable que está buscando. En la votación de aprobación, el votante aprueba o desaprueba a todos los candidatos de la papeleta. El ganador es el candidato que obtiene más aprobaciones. Este método no está sujeto al teorema de Arrow porque todos los candidatos aprobados (y desaprobados) en una papeleta concreta tienen la misma clasificación, una condición que no está cubierta por el teorema de Arrow.

Answer 5

Comentario ampliado. El principal reto de la pregunta es cómo se modelan los votantes, lo que se relaciona directamente con los tipos de entradas que pueden proporcionar y cómo se evalúa la solución. Tu pregunta parece presuponer una buena respuesta a estas cuestiones, pero en realidad creo que son muy espinosas.

Para empezar, supongamos que los votantes tienen un orden de preferencia bien definido sobre los resultados, pero no se asume nada más sobre sus utilidades o preferencias. En ese caso, parece complicado decir cuál debe ser el "mejor" resultado de una elección en general, y el enfoque axiomático se desarrolló para abordar esta cuestión.

Bien, ahora queremos permitir a los votantes un sistema más expresivo con la esperanza de evitar el de Arrow o el de Gibbard-Satterthwaite; pero supongamos que mantenemos el supuesto de modelización anterior sobre los votantes. Entonces, ¿cómo se espera que se comporten los votantes, por ejemplo, con el voto por rango? (Cada votante da a cada candidato una puntuación entre, digamos, 1 y 100.) No parece haber una respuesta correcta sobre cómo debería votar un votante con una determinada relación de preferencia en un sistema de votación por rangos.

Así que para permitir sistemas de votación más expresivos, parece que deberíamos permitir modelos de votantes más expresivos. Además, nuestra noción de "buenos" resultados debería tener sentido para estos modelos, al igual que el enfoque axiomático correspondía al modelo de relación de preferencia.

Por ejemplo, quizá supongamos que cada votante tiene una utilidad asociada a cada candidato. Para simplificar, consideremos las reglas de votación de revelación directa (basta con informar de sus utilidades). Este modelo se encuentra con problemas inmediatos: ¿No debería ser "mejor" la "suma máxima de utilidades"? En este caso, no podemos esperar evitar la manipulación (un votante desea exagerar el valor de su candidato favorito de forma ilimitada). Tal vez, en cambio, lo mejor debería ser "maximizar el producto de las utilidades", pero de nuevo parece imposible evitar la manipulación (un votante pondría la utilidad a cero para todos los candidatos excepto para su favorito).

Se puede intentar arreglar estos problemas, por ejemplo, reescalando las utilidades de los votantes para que todas estén en [0,1], con el candidato favorito teniendo una utilidad de 1 y el candidato menos favorito teniendo una utilidad de 0. Entonces podríamos evaluar una regla por lo bien que maximiza la suma de utilidades, etc. Sin embargo, esto parece burlarse del modelo de utilidad original: tal vez tengamos realmente un votante con una utilidad mucho mayor para un candidato que todos los demás, así que ¿cómo podemos decir que cualquier regla de votación que ignore este hecho es "buena"? Tal vez la noción correcta sea la de equidad (en algún sentido) y no la de utilidad total, pero de nuevo, esto debe definirse matemáticamente.

Por lo tanto, no estoy seguro de que haya investigaciones que aborden estas cuestiones, pero sé que tenemos que resolver la cuestión de cómo modelar a los votantes y evaluar los resultados para proceder a abordar su pregunta, y esto no es trivial.