Estoy buscando ejemplos de las conjeturas de Weil--específicamente la racionalidad de la función zeta--que pueden ser apreciadas con un mínimo de antecedentes en geometría algebraica. ¿Existen variedades para las que uno puede calcular fácilmente el número de puntos sobre campos finitos y presenciar la racionalidad directamente? Por supuesto, hay ejemplos totalmente sencillos que provienen del espacio proyectivo y de los Grassmannianos (o cualquier cosa con un pavimento de afines).
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ashirley
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568
El mismo Weil verifica las conjeturas "a mano" para las hipersuperficies diagonales, es decir, hipersuperficies definidas por una ecuación de la forma
$$a_0x_0^{n_0}+a_1x_1^{n_1}+ \cdots +a_kx_k^{n_k}=b.$$
El argumento es bastante elemental esencialmente usa sólo la teoría del carácter. Me parece probable que este argumento influyó mucho en la prueba original de racionalidad de Dwork.
El papel es bastante legible; lo aprendí de Akshay Venkatesh.
Nathan Fellman
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2496
Un ejemplo elemental viene de la teoría de las curvas elípticas, como en el libro de Silverman. A saber, dada una curva elíptica sobre un campo finito $ \mathbb {F}_q$ el número de $ \mathbb {F}_q$ -puntos racionales es el grado de $1-F$ para $F$ el Frobenius es decir, es el núcleo de la isogenia $1-F$ . Ahora puedes calcular el grado como $(1-F)(1 - F)^t$ (donde $F^t$ es la isogenia dual) y esto es $1 - (F + F^t) + q$ desde $q$ es el grado de Frobenius. Así que la cantidad clave para calcular es $F + F^t$ que es un número entero es secretamente el rastro de $F$ en $l$ -cocomología adictiva. Si reemplazas $F$ por $F^n$ esto te da la racionalidad de la función zeta de una curva elíptica. También se puede obtener la hipótesis de Riemann por medios puramente elementales utilizando el hecho de que el grado es una forma cuadrática definida positiva y una desigualdad de tipo Cauchy-Schwarz. Mi conjetura es que algo como esto debería funcionar con variedades abelianas de dimensiones más altas (el $l$ -(La cohomología ádica es un álgebra exterior, como la cohomología topológica de un toro) también.
Richard
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1661
Es posible dar un curso de un semestre en teoría de números, libre de geometría algebraica abierta, que maneja las funciones zeta de las curvas sobre campos finitos, probando la ecuación funcional y la HR de Weil para ellas. (Y también hace Mordell-Weil para las curvas elípticas sobre los campos numéricos). Enseñé un curso de este tipo a estudiantes de segundo año hace 20 o 30 años.
Uno se mueve por la geometría de las curvas a la manera del Dedekind del siglo XIX, trabajando con sus campos funcionales -extensiones finitas de k(t)- y valoraciones, tal como se hace con los campos numéricos. Riemann-Roch se hace como en el libro de Chevalley usando "reparticiones". La racionalidad y la ecuación funcional siguen directamente de Riemann-Roch. La HR está hecha por la elegante técnica de Bombieri: primero se usa Riemann-Roch para obtener un buen límite superior para el número de puntos racionales, luego se combina este límite superior con la ecuación funcional para obtener un buen límite inferior. (Ayanta piensa que la prueba es milagrosa pero poco informativa; esto puede ser cierto en la versión original de Stepanov, pero encuentro que el argumento de Bombieri es natural).
Por supuesto que hay defectos en este enfoque. La geometría algebraica es mucho más esclarecedora. Pero puede ser aprendida más tarde, en cualquier forma que el estudiante encuentre apropiada. Y también hay ventajas. Para hacer geometría algebraica al estilo de Weil uno tendría que preocuparse por los "campos de definición". Y la versión de Grothendieck (que sigue intimidándome), sólo atraería al raro estudiante de este nivel. Que unas matemáticas tan bellas puedan ser presentadas de una manera tan accesible me parece una bendición.
Jim Ford
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514
El abuelo de todos los ejemplos es de Gauss:
http://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conjectures#Background_and_history
Por supuesto que Gauss no mencionó campos finitos aparte del campo principal. Creo que es la naturaleza de un comentario que el método lleva, pero no lo he escrito.
Jeff
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1
Cualquier variedad que admita una descomposición celular da un ejemplo. La descomposición celular de $X$ es una estratificación $X= \bigcup\limits_n X^n$ de tal manera que $X^n \setminus X^{n-1}= \coprod\limits_ {i=1}^{k_n} \mathbb {A}^n$ es una unión desarticulada de espacios afines.
Luego $\#X( \mathbb {F}_q)=k_0+k_1q+ \dots +k_dq^d$ así que la función zeta de $X$ es un producto de las funciones zeta de los espacios afines y por lo tanto racional.
Ejemplos de estas variedades son las variedades de bandera de los grupos reductores (descomposición de Bruhat).
En términos más generales, la racionalidad de las funciones zeta de los espacios de los módulos de algunos objetos puede demostrarse elemental al contar estos objetos sobre un campo finito. Por ejemplo, en el caso de las variedades de carcaj, lo hace V. Kac en "Root systems, representation of quivers and invariant theory".
Edición: Otro ejemplo menos elemental es el de las superficies racionales. Para ellos los grupos Chow satisfacen los axiomas de la teoría de cohomología de Weil, como se explica en el libro de Manin "Formas cúbicas", por lo que sigue la racionalidad.
