Ayudar a la comprensión de los débiles ley de los grandes números con respecto a las estadísticas

Question

Estoy tratando de hacer un poco de auto-estudio para actualizar mis estadísticas de conocimiento, y llegó a través de este término en una sección de discutir los débiles ley de los grandes números y del teorema de Bernoulli:

$$\sum_{k=0}^n k\frac{n!}{k!\,(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$

Según el libro que estaba leyendo, este término puede "ser fácilmente demostrado que la igualdad de np".

Estoy en una pérdida en cuanto a cómo hacerlo y podría utilizar algo de orientación!

Editado

Límite inferior $k=0$, no $1$

Answer 1

Tenemos esta suma: $$ \sum_{k=0}^n k\frac{n!}{k!\,(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} \tag 1 $$ Primer aviso de que al $k=0$, el plazo$k\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}$$0$, y el siguiente aviso de que al $k\ne0$ $$ \frac k {k!} = \frac 1 {(k-1)!} $$ así que $$ k\frac{n!}{k!\,(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} p^k (1-p)^{n-k}. $$ Las dos expresiones entre paréntesis en el denominador ahora agregar a a $n-1$ lugar $\text{than } n.$, de Modo que podemos escribir así: $$ \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!} = n\cdot \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = n\cdot \binom{n-1}{k-1}. $$ A continuación, la suma de $(1)$ se convierte en $$ \sum_{k=1}^n\cdot \binom{n-1}{k-1} p^k (1-p)^{n-k}. $$ Desde $n$ no cambia como $k$$1$$n$, podemos tirar de $n$, obteniendo $$ n \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} p^k (1-p)^{n-k}. $$ Ahora vamos a $j=k-1$ y observar que a medida que $k$$1$$n$$j$$0$%#%, e $n-1$, por lo que tenemos $$ n \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1} j p^{j+1} (1-p)^{(n-1)-j}. $$ Desde $k = j+1$ no cambia como $p$$j$$0$, podemos tirar de $n-1$, obteniendo $$ np \sum_{j=0}^{n-1} \binom{n-1} j p^j (1-p)^{(n-1)-j}. $$ Ahora vamos a $p$, por lo que tenemos $$ np \sum_{j=0}^m \binom m j p^j (1-p)^{m-j}. $$ Esta suma es $m= n-1$ ya que es la suma de las probabilidades asignadas por el $1$ distribución. Por lo tanto tenemos $$ np\cdot 1. $$

Answer 2

El truco es el uso de la identidad de $k { n \choose k} = n {n-1 \choose k-1}$. $$\begin{align*} &\sum_{k=1}^n k { n \choose k } p^k (1-p)^{n-k}\\ &= \sum_{k=1}^n n { n-1 \choose k-1} p^k (1-p)^{n-k}\\ &=np \sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1} p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\ &=np (p+(1-p))^n\\ &=np \end{align*}$$

Answer 3

Deje $X_n=B(n,p)$ ser una binomial distribuido variable aleatoria. Observe también que $X_n=Y_1+Y_2+\cdots+ Y_n$ donde $Y_i$ son yo.yo.d. De Bernoulli con parámetro de $p$.

Ahora observar que \begin{align} \sum_{k=0}^n k\frac{n!}{k!\,(n-k)!}p^k(1-p)^{n-k}&= \operatorname{E}(X_n)\\ &= \operatorname{E}( Y_1+Y_2+\cdots Y_n)\\ &=\operatorname{E}( Y_1)+\operatorname{E}(Y_2)+\cdots +\operatorname{E}(Y_n)\\ &=np \end{align}