Irracionalidad de$\pi e, \pi^{\pi}$ y$e^{\pi^2}$

Question

¿Qué se sabe sobre la irracionalidad de$\pi e$,$\pi^\pi$ y$e^{\pi^2}$?

Answer 1

Brownawell y Waldschmidt tenemos resultados en estas direcciones que no dependen de Schanuel de la Conjetura. Las referencias son

M. Waldschmidt, "Solución du Huitième Problème de Schneider," J. Teoría de los números 5 (1973), 191-202.

W. D. Brownawell, "La expresión algebraica de la independencia de ciertos números relacionados por la función exponencial," J. Teoría de los números 6 (1974), 23-31.

Los dos documentos de forma independiente demostrar resultados a lo largo de las siguientes líneas. (La siguiente versión es tomado de Brownawell.) Vamos $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ ser distinto de cero de los números complejos con $\alpha$ e $\beta$ tanto irracional. Si $e^\gamma$ e $e^{\alpha\gamma}$ son ambos números algebraicos, entonces al menos dos de los números $$\alpha, \beta, \gamma, e^{\beta\gamma}, e^{\alpha\beta\gamma}$$ are algebraically independent over $\mathbb{Q}$.

Este teorema tiene varias consecuencias interesantes:

• Tomando $\alpha=\beta=e^{-1}, \gamma=e^2$, podemos ver que al menos uno de $e^e$ e $e^{e^2}$ debe ser trascendental. Este fue conjeturado por Schneider.

• Tomando $\alpha=\beta=\gamma$, vemos que, dado cualquier número complejo distinto de cero $\alpha$, al menos uno de los números de $e^{\alpha}, e^{\alpha^2}, e^{\alpha^3}$ debe ser trascendental.

• Tomando $\alpha = \beta = i/\pi, \gamma=\pi^2$, podemos ver que al menos uno de los siguientes se tiene: (i) $e^{\pi^2}$ es trascendental, o (ii) $e$ e $\pi$ son algebraicamente independientes.

Así como una respuesta parcial a esta pregunta, al menos uno de $e\pi$ e $e^{\pi^2}$ es trascendental.

Answer 2

Creo que la mayoría de estas preguntas aún están muy lejos de resolverse.

Aparentemente, ni siquiera se sabe si$\pi^{\pi^{\pi^\pi}}$ es un número entero (y mucho menos irracional).