Varios sabores de infinitesimales

Question

No estoy seguro de si esto es un soft pregunta, y si puede ser demasiado amplio o, por el contrario, muy localizada. Así, en Matemáticas el concepto de "infinitesimal" ha sido de extrema importancia durante siglos.
El presente matemáticos de la tecnología permite, según el contexto, para formalizar esta idea en varias maneras:

• La geometría diferencial. La clásica epsilon-delta del formalismo de los límites de un análisis elemental nos lleva al concepto de primer orden (o $n$-ésimo orden) la aproximación en el Cálculo, por lo tanto a muchos de los conceptos en la geometría diferencial: diferencial de un mapa entre suave colectores, chorros de un mapa, la tangente de vectores, formas diferenciales, y métricas de Riemann.
• La geometría algebraica. La falta de una noción útil de la convergencia de las secuencias debido a la tosquedad de la topología de Zariski nos impide el uso de epsilon-delta argumentos para definir "infinitesimals". Pero entonces se conserva la noción de primer orden (o $n$-ésimo orden) "aproximación" de una manera más formal, por ejemplo, por medio de las propiedades universales de los módulos y derivaciones (Kahler diferenciales...), y que de "infinitesimal del espacio" por ejemplo, por medio de locales Artinian $\Bbbk$-álgebras, y de "infinitesimal de barrio" por ejemplo, por la finalización de los locales de los anillos, los planes oficiales, etc. (Pero después de todo el algebro de la perspectiva geométrica es sólo un alto en la ceja de manera de hacer la formal derivado de polinomios, que coincide con el "topológico uno" una vez que el trabajo de más de $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$)
• Sintético de la geometría diferencial. Más recientemente, algunos matemáticos están explorando el reino de sintético de la geometría diferencial, de que yo no sé nada, salvo que es una especie de unifica las perspectivas de los dos anteriores enfoques y utiliza las cantidades de la categoría de la teoría (por favor, corrígeme si no estoy siendo correcta).
• No-estándar de análisis. El concepto de infinitesimal elemento es, por supuesto, fundamental en la no-estándar de análisis en el campo de $\mathbb{R}$ y el uso de epsilon-delta argumentos se sustituye por la introducción del campo de ${}^* \mathbb{R}$ de hyperreal números, que alberga varias jerarquías de infinitesimals (así como "infinitos elementos").
• La geometría no conmutativa. Según A. Connes (en su libro de Geometría no conmutativa hay un párrafo en una "Cuantificada de cálculo") dado un infinito dimensional espacio de Hilbert separable $\mathcal{H}$ y un determinado operador $F$ en él, compacto operadores en $\mathcal{H}$ con valores de características tales que $\mu_n=O(n^{-\alpha})$, $n\to\infty$, puede ser interpretado como "infinitesimals de orden $\alpha$", mientras que el diferencial de una "variable compleja" (leer "operador en $\mathcal{H}$") $f$ se acaba de definir a ser el colector $[F,f]$.

En el riesgo de ver a mi pregunta cerrada como demasiado vaga ("no es una verdadera pregunta"), sería mi curiosidad a saber:

Hay una teoría que abarca todos los casos anteriores de "infinitesimals" dentro de un único formales de la imagen? O, por el contrario, son algunas de las anteriores nociones de infinitesimals inherentemente específicos para su campo y encarnar formalizaciones de diferentes heurística nociones? [Una situación como en la segunda pregunta se produce con la noción de "infinito": a mí me parece es que casi no hay relación profunda entre el infinito como en $\lim_{n\to\infty}$ y el infinito cardenales de Cantor]

Answer 1

No sé de los Limites de cálculo, pero los otros (incluyendo análisis no estándar a la Robinson) han sido puestas bajo un marco común el uso de modelos de sintético de la geometría diferencial. Sin embargo, es importante señalar que la infinitesimals utilizado en la geometría algebraica (por chorro de paquetes, etc.) son nilpotent infinitesimals, mientras que el infinitesimals utilizados en el análisis no estándar son invertible. Así que en un sentido la respuesta a la pregunta es "sí y no", pero voy a concentrarme aquí en el "sí".

Este es explorado en los Modelos para el buen Infinitesimal Análisis de Moerdijk y Reyes, que me recomiendan. Este libro se puede leer como "aplicado gavilla de la teoría de la" o ", que se aplica topos de Grothendieck teoría", donde el arte es elegir un sitio pequeño (categoría + cubriendo tamices) juiciosamente para lograr varios objetivos a la vez. En muchos de los modelos, se toma el subyacente de la categoría de el sitio a ser algo así como afín a los espectros de anillos conmutativos, excepto uno no está tratando con conmutativa anillos exactamente, pero más rica de estructuras algebraicas llama $C^\infty$-anillos. La definición formal de estos es en términos de un Lawvere teoría algebraica que permite aplicar, no sólo polinomio de operaciones, pero más general de las operaciones basadas en $C^\infty$ funciones. Así que el subyacente de la categoría de el sitio de estos modelos es el opuesto de finitely generadas $C^\infty$-anillos, que Moerdijk y Reyes llamar a $\mathbb{L}$ (para el "locus").

La representación de objeto que le da el lugar geométrico de los invertible infinitesimals es el espectro de la se $C^\infty$-anillo dado por $C^\infty$ funciones $\mathbb{R} - \{0\} \to \mathbb{R}$, módulo del ideal de las funciones que se desvanecen en un barrio de $0$, también conocido como el $C^\infty$ anillo de gérmenes en el $0$. Este es realmente no es muy diferente de no estándar infinitesimals: generalmente infinitesimal elementos son considerados en cierto modo como los gérmenes de funciones en el infinito, es decir, de las funciones de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ modulo aquellos que se desvanecen para suficientemente grande $x$ (comparar aquí el infinitesimals de Du Bois-Reymond y Hardy). Aquí Moerdijk y Reyes uso $0$ en lugar de $\infty$. De cualquier manera, hay nonarchimedean elementos, es decir, distinto de los elementos que menos $1/n$ en valor absoluto.

[En análisis no estándar, típicamente refina esta idea y teniendo en cuenta los gérmenes de funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ a un "ideal punto en el infinito", es decir, en un no-director de ultrafilter $U$ a $\mathbb{R}$, o, alternativamente, los gérmenes de funciones $\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ a un no-director de ultrafilter $U$ a $\mathbb{N}$. La más conocida de la palabra clave aquí es "ultrapower", pero ver este MO respuesta por François Dorais, donde el mensaje implícito es que un ultrapower a lo largo de $U$ es realmente el mismo que tomar un tallo en $U$. (Yo llamo a $U$ "un ideal punto en el infinito", ya que podemos pensar en un no-director de ultrafilter $U$ a $\mathbb{N}$ como un punto en la fibra a $\infty$ con respecto a la canónica mapa continuo $\beta(\mathbb{N}) \to \mathbb{N} \cup \{\infty\}$, desde el Stone-Cech compactification de $\mathbb{N}$ a la de un punto de compactification de $\mathbb{N}$.)]

Por otro lado, una típica representación de objeto para nilpotent infinitesimals es el espectro de la se $C^\infty$-anillo de funciones $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ modulo el ideal de los cuadrados de los elementos que se desvanecen en $0$. La "interna hom" representado por este espectro da la tangente paquete functor, y otro chorro de paquetes puede ser igual de representados, mediante el uso de $C^\infty$-anillos con diferentes tipos de nilpotent elementos.

La parte difícil de todo esto es conseguir que la noción de derecho de cobertura de los tamices, es decir, de las poleas w.r.t. una topología de Grothendieck, para lograr objetivos dispares. Uno de los objetivos sería incrustar los habituales de la categoría de colectores plena y fielmente en la categoría de poleas, así como para preservar el "buen colimits", tales como un colector $M$ obtenido como colimit a lo largo de un abierto que cubre de $M$. Un objetivo diferente sería la de organizar la topología de modo que el locus de la invertible infinitesimals, como un presheaf en la categoría de sitio $\mathbb{L}$, es una gavilla w.r.t. la topología. En resumen, ambos objetivos pueden ser alcanzados simultáneamente, así como para dar cabida tanto a nilpotent y invertible infinitesimals.